Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

F (x) f(x) = dF (x)/dx,
f(x) = f(x |θ) = 0
[ a; b ] f(x |θ) = (b − a)
−1
,
f(x |θ) = 0 x < 0,
f(x |θ) =
1
θ
exp
n
−
x
θ
o
,
x ≥ 0, x = 0
f
a b
F (x) =
x
Z
−∞
f(t)dt,
X
B B
P (X ∈ B) =
Z
B
f(x)dx =
Z
R
I
B
(x)f(x)dx,
I
B
(x) B.
dx (R, B).
f(x),
ñòîðîíû, ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ â íåïðåðûâíîì ñëó÷àå, òàê
æå êàê è ôóíêöèÿ ñêà÷êîâ äèñêðåòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, äîïóñêàåò ìåõàíè-
÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ ôóíêöèè ïëîòíîñòè åäèíè÷íîé ìàññû, ðàçìàçàí-
íîé ïî áåñêîíå÷íîìó ñòåðæíþ, è â ðàìêàõ ýòîé èíòåðïðåòàöèè ìû ñíîâà
ìîæåì ðàññìàòðèâàòü òàêèå õàðàêòåðèñòèêè, êàê öåíòð òÿæåñòè, ìîìåíò
èíåðöèè è òîìó ïîäîáíîå.
   Èòàê, îïðåäåëèì ôóíêöèþ ïëîòíîñòè íåïðåðûâíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
F (x) êàê ïðîèçâîäíóþ f (x) = dF (x)/dx, êîòîðàÿ â íàøåì ñëó÷àå îïðåäå-
ëÿåòñÿ ïî÷òè âñþäó ïî ìåðå Ëåáåãà, ÷òî, êàê áóäåò â äàëüíåéøåì, âïîëíå
äîñòàòî÷íî äëÿ âû÷èñëåíèÿ õàðàêòåðèñòèê íåïðåðûâíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.
Òàê, äëÿ ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ f (x) = f (x | θ) = 0 ðàâíà íóëþ âíå
ñåãìåíòà [ a; b ] è f (x | θ) = (b − a)−1 , òî åñòü ïîñòîÿííà íà ýòîì ñåãìåíòå.
 ñëó÷àå ïîêàçàòåëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ f (x | θ) = 0 ïðè x < 0,
                                      1   n xo
                           f (x | θ) = exp −   ,
                                      θ      θ
åñëè x ≥ 0, è îòíåñåíèå òî÷êè x = 0 ê îáëàñòè íóëåâûõ çíà÷åíèé ôóíêöèè
f î÷åâèäíî íå èçìåíèò çíà÷åíèé èíòåãðàëüíûõ õàðàêòåðèñòèê ðàñïðåäå-
ëåíèÿ; àíàëîãè÷íîå çàêëþ÷åíèå ìîæíî ñäåëàòü è îòíîñèòåëüíî êîíöåâûõ
òî÷åê a è b ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ U(a, b).
   Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ èç íåïðåðûâíîãî êëàññà âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ñâîþ
ôóíêöèþ ïëîòíîñòè â âèäå
                                          Zx
                              F (x) =          f (t)dt,
                                          −∞

à âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ X â íåêîòîðîå ïðîèçâîëüíîå áîðåëåâñêîå ìíî-
æåñòâî B (âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ B ) çàïèñûâàåòñÿ êàê
                               Z                   Z
                 P (X ∈ B) =           f (x)dx =           IB (x)f (x)dx,
                                   B                   R

ãäå IB (x)  èíäèêàòîðíàÿ ôóíêöèÿ ìíîæåñòâà B. Åñòåñòâåííî, â ñèëó ÿâ-
íîé íåðåãóëÿðíîñòè (ðàçðûâíîñòè è ïðî÷èõ ïàêîñòåé) ïîäûíòåãðàëüíûõ
ôóíêöèé èíòåãðàëû â ýòèõ ôîðìóëàõ ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü êàê èíòåãðà-
ëû Ëåáåãà ïî ëåáåãîâîé ìåðå dx íà áîðåëåâñêîé ïðÿìîé (R, B).
   Öåíòð òÿæåñòè ñòåðæíÿ ñ íåïðåðûâíûì ðàñïðåäåëåíèåì ìàññ, êîòîðîå
îïðåäåëÿåòñÿ ôóíêöèåé ïëîòíîñòè f (x), âû÷èñëÿåòñÿ ïî èçâåñòíîé ôîðìó-

                                          57

Страницы