Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 59 стр.

îïÿòü íîâàÿ ôîðìóëà äëÿ âû÷èñëåíèÿ õàðàêòåðèñòèê ðàñïðåäåëåíèÿ X !
   Äàëüøå  áîëüøå, îêàçûâàåòñÿ ñóùåñòâóåò åùå îäèí òèï ðàñïðåäåëåíèé,
âû÷èñëåíèå õàðàêòåðèñòèê êîòîðîãî âîîáùå íåìûñëèìî âíå ðàìîê òåîðèè
èíòåãðàëà Ëåáåãà. Ïîìíèòå, ìû ãîâîðèëè ñ âàìè î ñâÿçè ìåæäó ñõåìîé èñ-
ïûòàíèé Áåðíóëëè ñ âåðîÿòíîñòüþ óñïåøíîãî èñïûòàíèÿ p = 1/2 è ðàâíî-
ìåðíûì ðàñïðåäåëåíèåì íà îòðåçêå [ 0, 1 ]? Îêàçûâàåòñÿ, åñëè âåðîÿòíîñòü
óñïåõà p 6= 1/2, òî äâîè÷íàÿ äðîáü, ñîñòàâëåííàÿ èç ðåàëèçàöèé èíäèêà-
òîðîâ óñïåõà, ïðåäñòàâëÿåò ðåçóëüòàò íàáëþäåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñ
âåñüìà çàãàäî÷íîé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ. Âî-ïåðâûõ, ýòà ôóíêöèÿ ïî-
÷òè âñþäó ïîñòîÿííà  ïðîèçâîäíàÿ îò íåå ïî÷òè âñþäó ïî ìåðå Ëåáåãà íà
(R, B) ðàâíà íóëþ. Òåì íå ìåíåå ýòà ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò, íåïðåðûâíà(!),
íî òî÷êè åå ðîñòà ñîñòàâëÿþò ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî, èìåþùåå, åñòåñòâåííî,
íóëåâóþ ëåáåãîâó ìåðó. Ñîîòâåòñòâóþùàÿ ýòîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ âå-
ðîÿòíîñòíàÿ ìåðà P íà áîðåëåâñêîé ïðÿìîé ñèíãóëÿðíà îòíîñèòåëüíî ìåðû
Ëåáåãà: åñëè ìíîæåñòâî B ∈ B èìååò íóëåâóþ ëåáåãîâó ìåðó, òî îòñþäà íå
ñëåäóåò, ÷òî P (B) = 0.
   Ðàñïðåäåëåíèÿ òàêîãî âèäà, èìåþùèå íåïðåðûâíóþ ôóíêöèþ ðàñïðå-
äåëåíèÿ, íî ñèíãóëÿðíûå ïî îòíîøåíèþ ê ìåðå Ëåáåãà, ñîñòàâëÿþò êëàññ
ñèíãóëÿðíûõ ðàñïðåäåëåíèé. Ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî ÿâíàÿ çàïèñü òàêèõ ðàñïðå-
äåëåíèé âðÿä ëè âîçìîæíà. Â íàøåì ïðèìåðå ñ ïîñòðîåíèåì ðåàëèçàöèé
ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X ñ ïîìîùüþ ñõåìû Áåðíóëëè äëÿ ôóíêöèè ðàñïðå-
äåëåíèÿ X ñîñòàâëÿåòñÿ íåêîòîðîå îïåðàòîðíîå óðàâíåíèå, è åñëè ìû õîòèì
ðàññ÷èòàòü âåðîÿòíîñòè ïîïàäàíèÿ X â èíòåðâàëû íà ïðÿìîé, òî ïðèäåòñÿ
èñïîëüçîâàòü ÷èñëåííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ òàêèõ óðàâíåíèé. Êîíå÷íî, ìû íå
áóäåì çàíèìàòüñÿ ñåé÷àñ âûâîäîì óðàâíåíèÿ, îïðåäåëÿþùåãî ñèíãóëÿðíóþ
ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ  ýòî ñëèøêîì òðóäîåìêàÿ çàäà÷à, äëÿ ðåøåíèÿ
êîòîðîé ó íàñ íåò âðåìåíè.
   Èòàê, ìû ðàññìîòðåëè òðè òèïà ðàñïðåäåëåíèé: äèñêðåòíûé, íåïðåðûâ-
íûé è ñèíãóëÿðíûé. Óäèâèòåëüíî òî, ÷òî äðóãèõ òèïîâ íå ñóùåñòâóåò, î
÷åì ñâèäåòåëüñòâóåò çíàìåíèòàÿ
  Òåîðåìà Ëåáåãà. Ëþáàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ïðåäñòàâèìà â âèäå
ñóììû òðåõ íåîòðèöàòåëüíûõ, íåóáûâàþùèõ ôóíêöèé, îäíà èç êîòîðûõ àá-
ñîëþòíî íåïðåðûâíà è èìååò íåîòðèöàòåëüíóþ ïðîèçâîäíóþ íà ìíîæåñòâå
ïîëîæèòåëüíîé ëåáåãîâîé ìåðû; âòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ñòóïåí÷àòîé è îáëàäàåò
íå áîëåå ÷åì ñ÷åòíûì ìíîæåñòâîì òî÷åê ðàçðûâà (ñêà÷êîâ); òðåòüÿ íåïðå-
ðûâíà, íî èìååò íå áîëåå ÷åì ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî òî÷åê ðîñòà.


                                   59