Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

EX =
Z
R
xdP (x),
X
P (B), B ∈ B.
(R, B)
P µ, P
µ, µ(B) = 0 P (B) = 0.
µ x ∈ R f(x),
P (B) =
Z
B
f(x)dµ(x), ∀B ∈ B. (1)
f(x),
µ x ∈ R,
P µ.
   Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû âûõîäèò èç ðàìîê íàøåãî îáùåãî êóðñà
òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Â íå ñòîëü îòäàëåííûå âðåìåíà, êîãäà â óíèâåðñè-
òåòå çàíèìàëèñü ïðåïîäàâàíèåì ôóíäàìåíòàëüíûõ íàóê, à íå îáó÷åíèåì
ïðèìèòèâíîìó ðåìåñëó, òåîðåìà Ëåáåãà äîêàçûâàëàñü â îáùåì êóðñå ìà-
òåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. Èç òåîðåìû Ëåáåãà âûòåêàåò, ÷òî â ÷èñòîì âèäå
ñóùåñòâóåò òîëüêî òðè òèïà ðàñïðåäåëåíèé, èç êîòîðûõ äâà (íåïðåðûâíûé
è äèñêðåòíûé) íàì çíàêîìû, à òðåòèé  ñèíãóëÿðíûé  çàãàäî÷åí, è ìû
ïîêà íå â ñîñòîÿíèè ïðåäñòàâèòü ñåáå, êàêèì îáðàçîì âû÷èñëÿòü èíòåãðàë
Ëåáåãà,                           Z
                           EX =          xdP (x),
                                     R
îïðåäåëÿþùèé ñðåäíåå çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X ñ ñèíãóëÿðíûì
ðàñïðåäåëåíèåì âåðîÿòíîñòåé P (B), B ∈ B.
   Ñïåøó îáðàäîâàòü âàñ, ÷òî ìû íå áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñèíãóëÿðíûå
âåðîÿòíîñòíûå ìîäåëè. Òåì íå ìåíåå ñóùåñòâóåò âåñüìà îáùèé ïîäõîä ê
îïðåäåëåíèþ ôóíêöèè ïëîòíîñòè äëÿ ëþáîãî, â òîì ÷èñëå è ñìåøàííîãî,
òèïîâ ðàñïðåäåëåíèé, îïèðàÿñü íà êîòîðûé ìîæíî ïðåäëîæèòü íåêîòîðûé
îáùèé ìåòîä îïðåäåëåíèÿ è âû÷èñëåíèÿ õàðàêòåðèñòèê ðàñïðåäåëåíèé ðàç-
ëè÷íûõ òèïîâ. Ýòîò ïîäõîä óêàçûâàåò ñëåäóþùàÿ, íå ìåíåå çíàìåíèòàÿ,
÷åì òåîðåìà Ëåáåãà,
  Òåîðåìà ÐàäîíàÍèêîäèìà. Ïóñòü íà áîðåëåâñêîé ïðÿìîé (R, B)
çàäàíû âåðîÿòíîñòü P è ñèãìà-êîíå÷íàÿ ìåðà µ, ïðè÷åì P àáñîëþòíî íåïðå-
ðûâíà îòíîñèòåëüíî µ, òî åñòü µ(B) = 0 âëå÷åò P (B) = 0. Òîãäà äëÿ ïî÷òè
âñåõ ïî ìåðå µ òî÷åê x ∈ R ñóùåñòâóåò òàêàÿ åäèíñòâåííàÿ ôóíêöèÿ f (x),
÷òî                         Z
                    P (B) =       f (x)dµ(x),   ∀B ∈ B.              (1)
                              B


   Ýòà òåîðåìà, äîêàçàòåëüñòâî êîòîðîé ìû òàêæå îïóñêàåì (è íå ïîòîìó,
÷òî âðåìåíè íåò, à ïðîñòî  çíàíèé íå õâàòàåò), ïîçâîëÿåò ââåñòè îäíî èç
öåíòðàëüíûõ ïîíÿòèé òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, ïîñòîÿííî èñïîëüçóåìîå ïðè
ïîñòðîåíèè âåðîÿòíîñòíûõ ìîäåëåé.
  Îïðåäåëåíèå 6.1. Ôóíêöèÿ f (x), îïðåäåëÿåìàÿ ñîîòíîøåíèåì (1) äëÿ
ïî÷òè âñåõ ïî ìåðå µ òî÷åê x ∈ R, íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé ïëîòíîñòè ðàñ-
ïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé P ïî ìåðå µ. Ýòà ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ òàêæå ïðî-


                                      60

Страницы