Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

P µ,
f(x) = dP/dµ.
P
dµ = dx P
F (x),
F (x),
µ : B ∈ B µ(B)
B.
B = [−2.5; 5]
−2, −1, 0, . . . 5 µ(B) = 8.
x ∈ R f(x) = 0,
P (B) =
X
x∈B
P (X = x) =
X
x∈B
f(x).
X.
P
X
P f(x) P µ.
g(X)
X
Eg(X) =
Z
R
g(x)dP (x) =
Z
R
g(x)f(x)dµ(x).
X
èçâîäíîé ÐàäîíàÍèêîäèìà ìåðû P ïî ìåðå µ, è èìååò ìåñòî ñèìâîëè÷å-
ñêàÿ çàïèñü f (x) = dP/dµ.
   Â ðàìêàõ ýòîãî îïðåäåëåíèÿ, ââåäåííàÿ âûøå ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè íåïðå-
ðûâíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ åñòü ïðîèçâîäíàÿ ÐàäîíàÍèêîäèìà âåðîÿòíîñòè P
ïî ìåðå Ëåáåãà dµ = dx íà áîðåëåâñêîé ïðÿìîé. Òàê êàê âåðîÿòíîñòü P â
ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé 4.1 îïðåäåëÿëàñü ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè ðàñïðåäåëå-
íèÿ F (x), òî ìû èñïîëüçîâàëè òîò âàðèàíò ïðîèçâîäíîé ÐàäîíàÍèêîäèìà,
êîòîðûé ñîâïàäàåò ñ îáû÷íîé ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè F (x), äîîïðåäåëÿÿ ýòó
ôóíêöèþ â òî÷êàõ, ãäå ïðîèçâîäíàÿ íå ñóùåñòâóåò, òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû
íå âîçíèêàëè äîïîëíèòåëüíûå ðàçðûâû. ×òî æå êàñàåòñÿ äèñêðåòíîãî ñëó-
÷àÿ, òî çäåñü ìû èñïîëüçîâàëè ïðîèçâîäíóþ ÐàäîíàÍèêîäèìà ïî ñ÷èòà-
þùåé ìåðå µ : äëÿ ëþáîãî B ∈ B ìåðà µ(B) ðàâíà êîëè÷åñòâó òî÷åê ñ
öåëî÷èñëåííûìè êîîðäèíàòàìè, êîòîðûå ïðèíàäëåæàò B. Íàïðèìåð, áîðå-
ëåâñêîå ìíîæåñòâî B = [−2.5; 5] ñîäåðæèò âîñåìü òî÷åê ñ öåëî÷èñëåííû-
ìè êîîðäèíàòàìè −2, −1, 0, . . . 5, è ïîýòîìó µ(B) = 8.  äðîáíûõ òî÷êàõ
x ∈ R ìû ïîëàãàëè f (x) = 0, õîòÿ ìîãëè áû âûáèðàòü ëþáûå äðóãèå çíà-
÷åíèÿ ïðè âû÷èñëåíèè âåðîÿòíîñòåé ïî ôîðìóëå (1). Äåëî â òîì, ÷òî ïðè
èíòåãðèðîâàíèè ïî äèñêðåòíîé ñ÷èòàþùåé ìåðå èíòåãðàë Ëåáåãà îò ëþáîé
ôóíêöèè ïðåâðàùàåòñÿ â ñóììó çíà÷åíèé ýòîé ôóíêöèè â öåëî÷èñëåííûõ
òî÷êàõ, è (1) ïðèíèìàåò èçâåñòíûé íàì èç ýëåìåíòàðíîé òåîðèè âåðîÿòíî-
ñòåé âèä                     X                X
                    P (B) =         P (X = x) =         f (x).
                              x∈B                 x∈B
   Òåïåðü ìû îáëàäàåì îáùèì ïîäõîäîì ê îïðåäåëåíèþ õàðàêòåðèñòèê ðàñ-
ïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X. Çíà÷èòåëüíàÿ ÷àñòü èç íèõ îïðåäåëÿ-
åòñÿ ÷åðåç èíòåãðàë Ëåáåãà ïî ìåðå (âåðîÿòíîñòè) P îò ñïåöèàëüíî ïîäî-
áðàííûõ ôóíêöèé.
  Îïðåäåëåíèå 6.2. Ïóñòü X  ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ñ ðàñïðåäåëåíèåì
P è f (x)  ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè P ïî ñèãìà-êîíå÷íîé ìåðå µ. Ìàòåìàòè-
÷åñêèì îæèäàíèåì ëþáîãî èçìåðèìîãî îòîáðàæåíèÿ g(X) áîðåëåâñêîé
ïðÿìîé â ñåáÿ (èçìåðèìîé ôóíêöèè îò ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X ) íàçûâàåò-
ñÿ èíòåãðàë Ëåáåãà
                        Z              Z
               Eg(X) =    g(x)dP (x) =   g(x)f (x)dµ(x).
                          R                  R

 ÷àñòíîñòè, ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X âû÷èñ-


                                       61

Страницы