Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

1
0
.
2
0
. D(aX + b) = E(aX + b − aµ − b)
2
= a
2
E(X − µ)
2
= a
2
DX.
3
0
. DX = E(X − EX)
2
= E
¡
X
2
− 2XEX + (EX)
2
¢
=
EX
2
− 2EX · EX + (EX)
2
= EX
2
− (EX)
2
.
4
0
. E(X − a)
2
= E ((X − µ) − (a − µ))
2
=
E
¡
(X − µ)
2
− 2(a − µ)(X − µ) + (a − µ)
2
¢
= E(X − µ)
2
− 2(a − µ)E(X −
µ) + (a −µ)
2
= DX + (a −µ)
2
≥ DX,
a = µ = EX.
X
X :
γ
1
= µ
3
/σ
3
,
γ
2
= µ
4
/σ
4
− 3.
2
0
γ
1
γ
2
X aX + b
a b.
X (X)
f(x).
X
µ
3
γ
1
γ
1
< 0.
p = 1/2 γ
1
= 0.
  10 . Äàííîå óòâåðæäåíèå åñòü ïðîñòàÿ êîíñòàòàöèÿ èçâåñòíîãî ñâîéñòâà
ëèíåéíîñòè èíòåãðàëà Ëåáåãà.
  20 . D(aX + b) = E(aX + b − aµ − b)2 = a2 E(X − µ)2 = a2 DX.
                             ¡                     ¢
  30 . DX = E(X − EX)2 = E X 2 − 2XEX + (EX)2 =
EX 2 − 2EX · EX + (EX)2 = EX 2 − (EX)2 .
     0            2                         2
  ¡4   . E(X  − a)  = E ((X − µ) − (a − µ))¢ =
E (X − µ) − 2(a − µ)(X − µ) + (a − µ) = E(X − µ)2 − 2(a − µ)E(X −
            2                            2

µ) + (a − µ)2 = DX + (a − µ)2 ≥ DX, ïðè÷åì ðàâåíñòâî äîñòèãàåòñÿ òîãäà
è òîëüêî òîãäà, êîãäà a = µ = EX.
  Ñ ìîìåíòàìè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X ñâÿçàíû äâå çàìå÷àòåëüíûå õàðàê-
òåðèñòèêè ôîðìû ðàñïðåäåëåíèÿ X :

  êîýôôèöèåíò àñèììåòðèè γ1 = µ3 /σ 3 , è

  êîýôôèöèåíò ýêñöåññà γ2 = µ4 /σ 4 − 3.

   Ëåãêî çàìåòèòü ïî àíàëîãèè ñ äîêàçàòåëüñòâîì ïóíêòà 20 ïðåäûäóùå-
ãî ïðåäëîæåíèÿ, ÷òî γ1 è γ2 èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî ëèíåéíûõ ïðå-
îáðàçîâàíèé ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, òî åñòü X è aX + b èìåþò îäèíàêîâûå
êîýôôèöèåíòû àñèììåòðèè è ýêñöåññà ïðè ëþáûõ ïîñòîÿííûõ a è b.
   Êàê è âûøå, ìû áóäåì íàçûâàòü ìîäîé ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè-
÷èíû X ëþáóþ òî÷êó mod(X) äîñòèæåíèÿ ëîêàëüíîãî ìàêñèìóìà ó ôóíê-
öèè ïëîòíîñòè f (x). Åñëè ìîäà åäèíñòâåííà, òî ãîâîðÿò, ÷òî ðàñïðåäåëå-
íèå X óíèìîäàëüíî. Êîãäà ãðàôèê óíèìîäàëüíîé êðèâîé ïëîòíîñòè èìå-
åò äëèííûé õâîñò ñïðàâà îò ìîäû (ñì. ðèñóíîê íà ýòîé ñòðàíèöå), òî â
âûðàæåíèè µ3 êóáû ïîëîæèòåëüíûõ îòêëîíåíèé ïåðåâåñÿò îòðèöàòåëüíûå
êóáû, è êîýôôèöèåíò àñèììåòðèè γ1 áóäåò ïîëîæèòåëåí. Åñëè æå ìîäà
ñâàëåíà âïðàâî (äëèííûé õâîñò ñëåâà îò ìîäû), òî γ1 < 0. Ðàñïðåäåëå-
íèÿ ñ ñèììåòðè÷íîé ôóíêöèåé ïëîòíîñòè, êàê, íàïðèìåð, áèíîìèàëüíîå ñ
p = 1/2 èëè ðàâíîìåðíîå U(a,b), îáëàäàþò íóëåâîé àñèììåòðèåé: γ1 = 0.




                                   63

Страницы