Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

EX =
Z
R
xdP (x) =
Z
R
xf(x)dµ(x).
M E.
g(X) = (X − a)
k
X, k 1, 2, . . . ,
k X
a a = 0, α
k
= EX
k
k
X, a = EX (= α
1
),
µ
k
= E(X −EX)
k
k
α
k
α
1
= EX
X µ.
µ
2
= E(X −µ)
2
X
σ
2
, DX.
σ =
√
DX
X. σ
X,
σ,
σ
2
. X
EX DX
1
0
. E(aX + b) = aEX + b a, b ∈ R,
2
0
. D(aX + b) = a
2
DX a, b ∈ R,
X
3
0
. DX = EX
2
− (EX)
2
= α
2
− µ
2
,
4
0
. inf
a∈R
E(X − a)
2
= DX, arg inf
a∈R
E(X − a)
2
= EX.
ëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
                                 Z                   Z
                        EX =             xdP (x) =           xf (x)dµ(x).
                                     R                   R



  Ç à ì å ÷ à í è å.  îòå÷åñòâåííîé ëèòåðàòóðå ïî òåîðèè âåðîÿòíîñòåé (íà-
ïðèìåð, â ó÷åáíèêå À.À.Áîðîâêîâà Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé ) ìàòåìàòè÷åñêîå
îæèäàíèå îáîçíà÷àåòñÿ ëàòèíñêîé áóêâîé M à íå E.
  Ìîìåíòíûå õàðàêòåðèñòèêè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷è-
íû. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ôóíêöèè g(X) = (X − a)k îò ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíû X, ãäå k ïðèíèìàåò òîëüêî öåëî÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ 1, 2, . . . ,
íàçûâàåòñÿ ìîìåíòîì k -ãî ïîðÿäêà ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X îòíîñèòåëü-
íî òî÷êè a. Åñëè a = 0, òî αk = EX k íàçûâàåòñÿ ïðîñòî ìîìåíòîì k -
ãî ïîðÿäêà ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X, à åñëè a = EX (= α1 ), òî ìîìåíò
µk = E(X − EX)k íàçûâàåòñÿ öåíòðàëüíûì ìîìåíòîì k -ãî ïîðÿäêà. Èíî-
ãäà, âî èçáåæàíèå íåäîðàçóìåíèé, ìîìåíòû αk íàçûâàþòñÿ íåöåíòðàëü-
íûìè ìîìåíòàìè. Ïåðâûé íåöåíòðàëüíûé ìîìåíò α1 = EX íàçûâàåò-
ñÿ ñðåäíèì çíà÷åíèåì èëè ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì ñëó÷àéíîé âå-
ëè÷èíû X è îáîçíà÷àåòñÿ îáû÷íî áóêâîé µ. Âòîðîé öåíòðàëüíûé ìîìåíò
µ2 = E(X − µ)2 íàçûâàåòñÿ äèñïåðñèåé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X è îáîçíà÷à-
åòñÿ èëè áóêâîé σ 2 , èëè ââîäèòñÿ
                            √      îïåðàòîð DX. Íàïîìíèì, ÷òî êâàäðàòíûé
êîðåíü èç äèñïåðñèè: σ = DX ìû äîãîâîðèëèñü íàçûâàòü ñòàíäàðòíûì
îòêëîíåíèåì X. Ïîñêîëüêó σ èìååò òó æå ðàçìåðíîñòü, ÷òî è íàáëþäàåìàÿ
ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X, òî â ïðàêòè÷åñêèõ ïðèëîæåíèÿõ â êà÷åñòâå ìåðû
ðàçáðîñà âåðîÿòíîñòåé èñïîëüçóåòñÿ îáû÷íî ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå σ, à
íå äèñïåðñèÿ σ 2 . Äëÿ ñðåäíåãî è äèñïåðñèè X ñïðàâåäëèâî
  Ïðåäëîæåíèå 6.1. Ñðåäíåå çíà÷åíèå EX è äèñïåðñèÿ DX îáëàäàþò
ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:
  10 . E(aX + b) = aEX + b äëÿ ëþáûõ ïîñòîÿííûõ a, b ∈ R,
   20 . D(aX + b) = a2 DX äëÿ ëþáûõ ïîñòîÿííûõ a, b ∈ R, òî åñòü äèñïåð-
ñèÿ èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî ñäâèãîâ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X íà ïîñòî-
ÿííóþ âåëè÷èíó;
  30 . DX = EX 2 − (EX)2 = α2 − µ2 ,
  40 . inf E(X − a)2 = DX, òî åñòü                   arg inf E(X − a)2 = EX.
      a∈R                                                    a∈R
  Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.

                                               62

Страницы