Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

n
X
k=0
C
k
n
a
k
b
n−k
= (a + b)
n
.
µ = EX =
n
X
k=0
kC
k
n
p
k
(1 − p)
n−k
= p
"
d
dx
n
X
k=0
C
k
n
x
k
(1 − p)
n−k
#
x=p
=
p
·
d
dx
(x + 1 − p)
n
¸
x=p
= pn(x + 1 − p)
n−1
|
x=p
= np.
α
2
= EX
2
=
n
X
k=0
k
2
C
k
n
p
k
(1 − p)
n−k
= p
"
d
dx
x
d
dx
n
X
k=0
C
k
n
x
k
(1 − p)
n−k
#
x=p
=
p
·
d
dx
x
d
dx
(x + 1 − p)
n
¸
x=p
= p
·
d
dx
xn(x + 1 − p)
n−1
¸
x=p
=
np
£
(x + 1 − p)
n−1
+ x(n − 1)(x + 1 − p)
n−2
¤
x=p
= np(1 − p) + (np)
2
,
σ
2
= EX
2
− (EX)
2
=
np(1 − p).
γ
1
=
1 − 2p
p
np(1 − p)
, γ
2
=
1 − 6p(1 − p)
np(1 − p)
.
p < 1/2,
p = 1/2 p > 1/2.
p(1 − p) < 1/6,
γ
2
= −2/n, p = 1/2.
(n, p) x,
f(x |n, p) < f(x + 1 |n, p)
x + 1 < p(n + 1),
X f(x |n, p) x ≥ 0,
p(n + 1).
íèÿ ïî ïàðàìåòðó è ôîðìóëîé áèíîìà Íüþòîíà:
                               n
                               X
                                     Cnk ak bn−k = (a + b)n .
                               k=0

  Ïî îïðåäåëåíèþ ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ
                   n
                                                      "    n
                                                                               #
                   X                                d X k k
    µ = EX =             kCnk pk (1 − p)n−k     =p     Cn x (1 − p)n−k                   =
                                                   dx
                   k=0                                    k=0                      x=p
               ·                     ¸
                 d
              p    (x + 1 − p)n                = pn(x + 1 − p)n−1 |x=p = np.
                dx                       x=p
  Âòîðîé ìîìåíò
                n
                                                      "  n
                                                                                     #
                X                                   d d X k k
 α2 = EX 2 =          k 2 Cnk pk (1 − p)n−k     =p   x     Cn x (1 − p)n−k                     =
                                                   dx dx
                k=0                                             k=0                      x=p
          ·                           ¸               ·    ¸
           d d                          d
        p   x (x + 1 − p)n        =p      xn(x + 1 − p)n−1
                                                                 =
          dx dx               x=p      dx                    x=p
     £                                       ¤
   np (x + 1 − p)n−1 + x(n − 1)(x + 1 − p)n−2 x=p = np(1 − p) + (np)2 ,
îòêóäà äèñïåðñèÿ áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ σ 2 = EX 2 − (EX)2 =
np(1 − p).
   Ñ ïîìîùüþ àíàëîãè÷íûõ, íî áîëåå óòîìèòåëüíûõ âûêëàäîê ìîæíî íàé-
òè òðåòèé è ÷åòâåðòûé ìîìåíòû, à òàêæå êîýôôèöèåíòû àñèììåòðèè è
ýêñöåññà
                        1 − 2p           1 − 6p(1 − p)
                 γ1 = p           , γ2 =               .
                        np(1 − p)          np(1 − p)
Ñëåäîâàòåëüíî, áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñâàëåíî âëåâî ( õâîñò ñïðà-
âà äëèííåå) ïðè p < 1/2, ñèììåòðè÷íî, êàê íàì áûëî èçâåñòíî ðàíåå, ïðè
p = 1/2 è ñâàëåíî âïðàâî ïðè p > 1/2. Êîýôôèöèåíò ýêñöåññà ïîëîæè-
òåëåí â îáëàñòè p(1 − p) < 1/6, à íàèáîëüøåå ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå
îòðèöàòåëüíîå çíà÷åíèå γ2 = −2/n, êîãäà p = 1/2.
   Ìîäà B(n, p) îïðåäåëÿåòñÿ êàê öåëî÷èñëåííîå x, ïðè êîòîðîì ïðîèñõî-
äèò ñìåíà íåðàâåíñòâà f (x | n, p) < f (x + 1 | n, p) íà îáðàòíîå. Íåòðóäíî
óáåäèòüñÿ, ÷òî ýòî íåðàâåíñòâî ýêâèâàëåíòíî x + 1 < p(n + 1), òàê ÷òî
mod(X ) îïðåäåëÿåòñÿ ÷åðåç ñðàâíåíèå çíà÷åíèé f (x | n, p) ïðè öåëûõ x ≥ 0,
áëèæàéøèõ ê p(n + 1).

                                                 65

Страницы