Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

f(x) = θ
−1
exp{−x/θ}
x = 0, X
α
k
= θ
−1
∞
Z
0
x
k
exp{−x/θ}dx = θ
k
∞
Z
0
x
k
e
−x
dx = Γ(k + 1)θ
k
= k!θ
k
,
µ = θ, σ
2
= θ
2
σ = θ
(a, α).
a,
x > a X = [ a, ∞]
X
F (x) = 1 −
³
a
x
´
α
, x > a, α > 0.
θ = (a, α)
Θ = R
+
×R
+
,
x > a
f(x |θ) =
α
a
³
a
x
´
α+1
.
k
α > k, α > 1
αa/(α − 1).
áîëüøåå çíà÷åíèå ïëîòíîñòè f (x) = θ−1 exp{−x/θ} äîñòèãàåòñÿ â òî÷êå
x = 0, ïîýòîìó mod(X )=0.
   Ìîìåíòû ïîêàçàòåëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
               Z∞                             Z∞
    αk = θ−1        xk exp{−x/θ}dx = θk            xk e−x dx = Γ(k + 1)θk = k!θk ,
               0                               0

îòêóäà µ = θ, σ 2 = θ2 è ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå σ = θ ñîâïàäàåò ñî
ñðåäíèì çíà÷åíèåì.
   Åñòåñòâåííî, ìîìåíòíûå õàðàêòåðèñòèêè äàëåêî íå óíèâåðñàëüíû, è ìîæ-
íî ïðèâåñòè ïðèìåðû ðàñïðåäåëåíèé, ó êîòîðûõ ñóùåñòâóåò îãðàíè÷åííîå
êîëè÷åñòâî ìîìåíòîâ, èëè íå ñóùåñòâóåò äàæå ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ. Ìû ïðè-
âåäåì äâà èç òàêèõ ðàñïðåäåëåíèé, îäíî èç êîòîðûõ ìîæåò ïðåäñòàâëÿòü
íåêîòîðûé ïðàêòè÷åñêèé èíòåðåñ, à äðóãîå áóäåò èñïîëüçîâàòüñÿ äëÿ èë-
ëþñòðàöèé ðàçëè÷íûõ ïàòàëîãèé â òåîðèè ñòàòèñòè÷åñêîãî âûâîäà; îáà ðàñ-
ïðåäåëåíèÿ çàíîñÿòñÿ â êàòàëîã âåðîÿòíîñòíûõ ìîäåëåé.
  Ðàñïðåäåëåíèå Ïàðåòî Par(a, α). Íàëîãîâûå îðãàíû îáû÷íî èíòåðå-
ñóþòñÿ ðàñïðåäåëåíèåì ãîäîâûõ äîõîäîâ òåõ ëèö, ãîäîâîé äîõîä êîòîðûõ
ïðåâîñõîäèò íåêîòîðûé ïðåäåë a, óñòàíîâëåííûé çàêîíàìè î íàëîãîîáëîæå-
íèè. Òàêîãî ðîäà ðàñïðåäåëåíèÿ èíîãäà ñ÷èòàþò (ê ñîæàëåíèþ, áåç îñîáîãî
ýêîíîìè÷åñêîãî îáîñíîâàíèÿ) ïðèáëèæåííî ñîâïàäàþùèìè ñ ðàñïðåäåëå-
íèåì Ïàðåòî, âñÿ âåðîÿòíîñòíàÿ ìàññà êîòîðîãî ñîñðåäîòî÷åíà â îáëàñòè
x > a (íîñèòåëü ðàñïðåäåëåíèÿ X = [ a, ∞ ]), è ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ íà
ñåãìåíòå X ðàâíà
                                     ³ a ´α
                       F (x) = 1 −            ,    x > a, α > 0.
                                      x
  Ýòî ðàñïðåäåëåíèå, çàâèñÿùåå îò äâóìåðíîãî ïàðàìåòðà θ = (a, α) ñ ïà-
ðàìåòðè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì Θ = R+ × R+ , ïðèíàäëåæèò íåïðåðûâíîìó
òèïó; åãî ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè â îáëàñòè x > a ðàâíà
                                         α ³ a ´α+1
                             f (x | θ) =            .
                                         a x
Ìîìåíò k -ãî ïîðÿäêà ó ðàñïðåäåëåíèÿ Ïàðåòî ñóùåñòâóåò òîëüêî ïðè çíà-
÷åíèÿõ ïàðàìåòðà α > k, íàïðèìåð, íåðàâåíñòâî α > 1 ãàðàíòèðóåò ñó-
ùåñòâîâàíèå ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ, êîòîðîå, êàê íåòðóäíî ïîäñ÷èòàòü, ðàâíî
αa/(α − 1).

                                          67

Страницы