Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

X, x
ϕ
ϕ [ −π/2; π/2 ]
ϕ ϕ
−π/2 ≤ x ≤ π/2 F (x) = (x + π/2)π
−1
.
X = tg ϕ,
F (x) = P (X < x) = P (tg ϕ < x) = P (ϕ < arctg x) =
1
π
³
arctg x +
π
2
´
, x ∈ R,
f(x) =
1
π
·
1
1 + x
2
.
a b
(a, b);
f(x |a, b) =
1
πb
"
1 +
µ
x −a
b
2
#
−1
,
X =
¯
R =
[ −∞, +∞].
X a,
γ
1
ùàòüñÿ ïî õîäó ÷àñîâîé ñòðåëêè, è ïðåæäå, ÷åì ñòâîë çàéìåò ïåðâîå ïîëî-
æåíèå ïàðàëëåëüíîå ñòåíå, â ñëó÷àéíûé ìîìåíò âðåìåíè ïðîèñõîäèò âû-
ñòðåë. Ýêñïåðèìåíòàòîðà èíòåðåñóåò ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû
X, ðåàëèçàöèÿ x êîòîðîé ñîâïàäàåò ñ êîîðäèíàòîé òî÷êè ïîïàäàíèÿ ñíà-
ðÿäà.
   Ïóñòü ϕ  ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ âåëè÷èíå óãëà, ìåæäó
ïåðïåíäèêóëÿðîì ê ñòåíå è ïîëîæåíèåì ñòâîëà â ìîìåíò âûñòðåëà. Íàì
áóäåò óäîáíåå èçìåðÿòü ϕ â ïðåäåëàõ [ −π/2; π/2 ] è òðàêòîâàòü ïðåäïîëî-
æåíèå î ñëó÷àéíîì ìîìåíòå âûñòðåëà â òåðìèíàõ ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäå-
ëåíèÿ ϕ íà ýòîì ñåãìåíòå. Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ϕ ïðè
−π/2 ≤ x ≤ π/2 ðàâíà F (x) = (x + π/2)π −1 . Î÷åâèäíî, êîîðäèíàòà òî÷êè
ïîïàäàíèÿ (ñì. ðèñóíîê) X = tg ϕ, îòêóäà èñêîìàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëå-
íèÿ
            F (x) = P (X < x) = P (tg ϕ < x) = P (ϕ < arctg x) =
                            1³             π´
                                 arctg x +    , x ∈ R,
                            π              2
à ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè
                                         1     1
                                f (x) = ·          .
                                         π 1 + x2
   Ñäâèã âïðàâî íà ïàðàìåòð a è âûáîð ìàñøòàáíîãî ïàðàìåòðà b îïðåäåëÿ-
åò òî ðàñïðåäåëåíèå, êîòîðîìó ìû ïðèñâîèì èìÿ Êîøè è áóäåì îáîçíà÷àòü
C(a, b); åãî ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè
                                        "    µ       ¶2 #−1
                                     1         x−a
                     f (x | a, b) =      1+                 ,
                                     πb          b

íîñèòåëåì ðàñïðåäåëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ðàñøèðåííàÿ ÷èñëîâàÿ ïðÿìàÿ X = R̄ =
[ −∞, +∞ ].
   Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå Êîøè íå îáëàäàåò äàæå êîíå÷íûì
ñðåäíèì çíà÷åíèåì, íå ãîâîðÿ î ìîìåíòàõ áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà. Îäíàêî
ýòî ðàñïðåäåëåíèå ñèììåòðè÷íî è èìååò ÿðêî âûðàæåííóþ ìîäó, mod(X )=a,
êîòîðàÿ ñ óñïåõîì çàìåíÿåò ñðåäíåå çíà÷åíèå, êàê õàðàêòåðèñòèêó ïîëî-
æåíèÿ öåíòðà ìàññ.  ñâÿçè ñ ýòèì ïîëåçíî ñäåëàòü çàìå÷àíèå î ñðåäíåì
çíà÷åíèè êàê õàðàêòåðèñòèêå ïîëîæåíèÿ: îíî äåéñòâèòåëüíî èãðàåò ñâîþ
ðîëü òîëüêî â ñëó÷àå ñèììåòðè÷íûõ ðàñïðåäåëåíèé, íî ïðè áîëüøèõ àá-
ñîëþòíûõ çíà÷åíèÿõ γ1 ñðåäíåå ïåðåñòàåò áûòü ïîëåçíîé õàðàêòåðèñòèêîé
ðàñïðåäåëåíèÿ, â òî âðåìÿ êàê ìîäà âñåãäà õîðîøà .

                                   69

Страницы