Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

F (x)
X
0 < F (x) < 1. p ∈ (0; 1) x
p
= F
−1
(p)
F (x) = p X.
F (x)
F (x) = p p
p x,
F (x) p.
x
0.5
,
m.
p = 1/2,
m = EX. p
p = 1/4 3/4,
(x
1−p
; x
p
)
p
x
p
− x
1−p
, p > 1/2,
X. p = 3/4,
x
3/4
−x
1/4
X.
   Êàêèå æå õàðàêòåðèñòèêè èñïîëüçóþòñÿ ïðè îïèñàíèè ðàñïðåäåëåíèé,
ó êîòîðûõ îòñóòñòâóþò ìîìåíòû?
  Îïðåäåëåíèå 6.3 Ïóñòü ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F (x) ñëó÷àéíîé âå-
ëè÷èíû X ñòðîãî âîçðàñòàåò â îáëàñòè âñåõ çíà÷åíèé ñâîåãî àðãóìåíòà, äëÿ
êîòîðûõ 0 < F (x) < 1. Òîãäà äëÿ ëþáîãî p ∈ (0; 1) êîðåíü xp = F −1 (p)
óðàâíåíèÿ F (x) = p íàçûâàåòñÿ p-êâàíòèëüþ ðàñïðåäåëåíèÿ X.
    òîì ñëó÷àå, êîãäà F (x) íåïðåðûâíà, íî íå ñòðîãî ìîíîòîííà, òàê ÷òî
óðàâíåíèå F (x) = p èìååò ìíîãî ðåøåíèé, â êà÷åñòâå p-êâàíòèëè îáû÷íî
áåðåòñÿ íàèáîëüøèé èëè íàèìåíüøèé èç êîðíåé ýòîãî óðàâíåíèÿ, è âûáîð
êîðíÿ îïðåäåëÿåòñÿ ñóùåñòâîì ðàññìàòðèâàåìîé âåðîÿòíîñòíîé ïðîáëåìû.
 ñëó÷àå æå äèñêðåòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ýòî óðàâíåíèå ìîæåò âîîáùå íå
èìåòü ðåøåíèé, è òîãäà â êà÷åñòâå p-êâàíòèëè âûáèðàåòñÿ òî çíà÷åíèå x,
äëÿ êîòîðîãî çíà÷åíèå F (x) áëèæå âñåãî ê çàäàííîìó p.
   Êâàíòèëü ñ÷èòàåòñÿ õàðàêòåðèñòèêîé ïîëîæåíèÿ, è ñ ýòîé òî÷êè çðå-
íèÿ îñîáîãî âíèìàíèÿ çàñëóæèâàåò êâàíòèëü x0.5 , êîòîðàÿ ðàçäåëÿåò âñþ
âåðîÿòíîñòíóþ ìàññó íà äâå îäèíàêîâûå ïîëîâèíêè. Ýòà êâàíòèëü íîñèò
íàçâàíèå ìåäèàíû ðàñïðåäåëåíèÿ è îáû÷íî îáîçíà÷àåòñÿ áóêâîé m. Ó ñèì-
ìåòðè÷íûõ ðàñïðåäåëåíèé (áèíîìèàëüíîå ñ âåðîÿòíîñòüþ óñïåøíîãî èñ-
ïûòàíèÿ p = 1/2, ðàâíîìåðíîå è Êîøè) ìåäèàíà ñîâïàäàåò ñ öåíòðîì ñèì-
ìåòðèè ðàñïðåäåëåíèÿ, à ïðè íàëè÷èè ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ ó ñèììåòðè÷íîãî
ðàñïðåäåëåíèÿ ìåäèàíà m = EX. Åñëè p êðàòíî 0.1, òî êâàíòèëü íàçûâà-
åòñÿ äåöèëüþ, à åñëè p = 1/4 èëè 3/4, òî  êâàðòèëüþ.
   Ñ êâàíòèëÿìè ñâÿçàíû òàêæå íåñêîëüêî õàðàêòåðèñòèê ðàññåÿíèÿ ðàñ-
ïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé. Î÷åâèäíî, èíòåðâàë (x1−p ; xp ) ïðè äîñòàòî÷íî
áëèçêèõ ê åäèíèöå çíà÷åíèÿõ p íàêðûâàåò îñíîâíóþ ÷àñòü âåðîÿòíîñòíîé
ìàññû, è ïîýòîìó ðàçíîñòü xp − x1−p , p > 1/2, ñëóæèò õàðàêòåðèñòèêîé
òîëåðàíòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X. Åñëè p = 3/4, òî
ðàçíîñòü x3/4 − x1/4 íàçûâàåòñÿ ñåìèèíòåðêâàðòèëüíîé øèðîòîé ðàñïðå-
äåëåíèÿ X.

                                                               Ëåêöèÿ 11

   Ìû çàâåðøèì ýòîò ïàðàãðàô äîêàçàòåëüñòâîì îäíîãî çàìå÷àòåëüíîãî
íåðàâåíñòâà, èãðàþùåãî èñêëþ÷èòåëüíóþ ðîëü ïðè äîêàçàòåëüñòâå ìíîãèõ
òåîðåì (èëè, êàê ÷àñòî ãîâîðÿò, çàêîíîâ ) òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Ýòî íåðà-
âåíñòâî èëè, â áîëüøåé ñòåïåíè, ñëåäñòâèå èç íåãî ñâÿçûâàåò êâàíòèëüíûå
è ìîìåíòíûå õàðàêòåðèñòèêè ðàññåÿíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ.

                                    70

Страницы