Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

g(x) ε > 0
P ( g(X) > ε ) ≤
E g(X)
ε
.
E g(X) = +∞,
E g(X) =
Z
R
g(x)dP (x) =
Z
g(x)<ε
g(x)dP (x) +
Z
g(x)≥ε
g(x)dP (x).
g(x)
ε,
E g(X) ≥ ε
Z
g(x)>ε
dP (x) = εP (g(X) > ε),
X
EX ε > 0
P (|X − EX| > ε) ≤
DX
ε
2
. (2)
X
DX < ∞
|X − EX| > ε |X − EX|
2
> ε
2
µ σ
2
.
µ ±3σ
X.
ε = 3σ,
P (µ − 3σ ≤ X ≤ µ + 3σ) = 1 − P (|X − µ| > 3σ) ≥ 8/9 ≈ 0.9.
  Ïðåäëîæåíèå 6.2 (í å ð à â å í ñ ò â î
                                     × å á û ø å â à). Äëÿ ëþáîé íåîò-
ðèöàòåëüíîé èçìåðèìîé ôóíêöèè g(x) è ëþáîãî ε > 0 èìååò ìåñòî íåðà-
âåíñòâî
                                                      E g(X)
                              P ( g(X) > ε ) ≤               .
                                                         ε

   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Åñëè E g(X) = +∞, òî íåðàâåíñòâî òðèâèàëüíî.
 ñëó÷àå êîíå÷íîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ
                Z                      Z                           Z
     E g(X) =           g(x)dP (x) =                g(x)dP (x) +                g(x)dP (x).
                    R                      g(x)<ε                      g(x)≥ε

   Åñëè â ïðàâîé ÷àñòè ýòîãî ðàâåíñòâà ïåðâîå ñëàãàåìîå çàìåíèòü íóëåì
(îíî íåîòðèöàòåëüíî), à âî âòîðîì ñëàãàåìîì ïîä èíòåãðàëîì âìåñòî g(x)
ïîäñòàâèòü åãî íàèìåíüøåå çíà÷åíèå ε, òî ïîëó÷èì îöåíêó ñíèçó
                                 Z
                 E g(X) ≥ ε                   dP (x) = εP (g(X) > ε),
                                     g(x)>ε

èç êîòîðîé íåìåäëåííî ñëåäóåò íåðàâåíñòâî ×åáûøåâà.
  Ñëåäñòâèå 6.1. Äëÿ ëþáîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X ñ êîíå÷íûì ñðåä-
íèì çíà÷åíèåì EX è ëþáîãî ε > 0 èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî
                                                          DX
                             P (|X − EX| > ε) ≤               .                               (2)
                                                           ε2


   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Åñëè äèñïåðñèÿ X íå ñóùåñòâóåò (ðàâíà áåñêîíå÷-
íîñòè), òî óòâåðæäåíèå ñëåäñòâèÿ òðèâèàëüíî.  ñëó÷àå DX < ∞ äîñòà-
                                                                         2
òî÷íî çàìåíèòü ñîáûòèå |X − EX| > ε íà ýêâèâàëåíòíîå |X − EX| > ε2
è ïðèìåíèòü íåðàâåíñòâî ×åáûøåâà.
   Äîêàçàííîå íåðàâåíñòâî ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ íà ïðàêòèêå äëÿ óíèâåð-
ñàëüíîé õàðàêòåðèñòèêè òîëåðàíòíîñòè ðàñïðåäåëåíèé, îáëàäàþùèõ êî-
íå÷íûì ñðåäíèì µ è êîíå÷íîé äèñïåðñèåé σ 2 . Èìååòñÿ â âèäó ðàñïðîñòðà-
íåííîå
  Ïðàâèëî òðåõ ñèãì. Èíòåðâàë ñ êîíöàìè µ ± 3σ ñîäåðæèò ïðèáëèçè-
òåëüíî 90% âåðîÿòíîñòíîé ìàññû ðàñïðåäåëåíèÿ X.
   Äåéñòâèòåëüíî, åñëè â íåðàâåíñòâå (2) ïîëîæèòü ε = 3σ, òî ïîëó÷èì:
P (µ − 3σ ≤ X ≤ µ + 3σ) = 1 − P (|X − µ| > 3σ) ≥ 8/9 ≈ 0.9.

                                               71

Страницы