Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

λ
X = {0, 1, . . . , ∞} x = ∞
λ n → ∞, p → 0 np = λ,
EX = DX = λ, γ
1
= λ
−1/2
, γ
2
= λ
−1
,
(X) = [ λ ], λ
f(x |λ)
µ = σ
2
= λ.
(a, b)).
X = [ a; b ].
(a, b), f(x) = (b −a)
−1
X
(0, 1), Y = (b − a)X + a, b > a, (a, b).
P (Y < x) = P ((b − a)X + a < x) = P (X <
(x −a)/(b −a)) = ( x −a)/(b −a).
(a, b)
µ = EX =
1
Z
0
xdx = 1/2, α
2
=
1
Z
0
x
2
dx = 1/3,
σ
2
= 1/3 − 1/4 = 1/12.
(a, b) µ = a + (b − a)/2, σ
2
= (b − a)
2
/12.
(a, b)
γ
2
θ
X = [ 0, ∞] R.
   Ï ð è ì å ð 6.2 (ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà P(λ)). Íîñèòåëü ðàñïðåäåëåíèÿ
X = {0, 1, . . . , ∞}  òî÷êà x = ∞ äîëæíà áûòü âêëþ÷åíà â íîñèòåëü ïî
òðåáîâàíèþ çàìûêàíèÿ ìíîæåñòâà âåðîÿòíîñòè åäèíèöà. Ìîìåíòíûå õà-
ðàêòåðèñòèêè ïóàññîíîâñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ìîæíî ðàññ÷èòàòü, èñïîëüçóÿ
òîò æå ìåòîä äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïî ïàðàìåòðó, íî ïðîùå, âñïîìíèâ, ÷òî
P(λ) åñòü ïðåäåë B(n,p) ïðè n → ∞, p → 0 è np = λ, ïåðåéòè ê ýòîìó
ïðåäåëó â ìîìåíòíûõ õàðàêòåðèñòèêàõ áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Â
ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì

                  EX = DX = λ, γ1 = λ−1/2 , γ2 = λ−1 ,

à mod(X) = [ λ ], ïîñêîëüêó àñèììåòðèÿ P(λ) âñåãäà ïîëîæèòåëüíà è ãðà-
ôèê f (x | λ) ñâàëåí âëåâî.
   Ñëåäóåò îáðàòèòü îñîáîå âíèìàíèå íà òî, ÷òî ó ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóàññîíà
äèñïåðñèÿ ñîâïàäàåò ñî ñðåäíèì çíà÷åíèåì: µ = σ 2 = λ.
   Ï ð è ì å ð 6.3 (ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå U(a, b)). Íîñèòåëü ðàñïðåäå-
ëåíèÿ X = [ a; b ]. Ìîäîé ðàñïðåäåëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ëþáàÿ òî÷êà èíòåðâàëà
(a, b), ïîñêîëüêó ïëîòíîñòü f (x) = (b − a)−1 ïîñòîÿííà íà ýòîì èíòåðâàëå.
   Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî åñëè ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X èìååò ðàñïðåäå-
ëåíèå U(0, 1), òî Y = (b − a)X + a, b > a, ðàñïðåäåëåíà êàê U(a, b). Ýòî
ïðîèñòåêàåò èç-çà ñëåäóþùåãî ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ôóíêöèÿìè ðàñïðåäå-
ëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí: P (Y < x) = P ((b − a)X + a < x) = P (X <
(x − a)/(b − a)) = (x − a)/(b − a).  ñèëó ýòîãî äëÿ âû÷èñëåíèÿ ìîìåíòíûõ
õàðàêòåðèñòèê U(a, b) äîñòàòî÷íî íàéòè ñîîòâåòñòâóþùèå õàðàêòåðèñòèêè
U(0, 1) è çàòåì âîñïîëüçîâàòüñÿ ïðåäëîæåíèåì 6.1.
   Äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ U(0, 1) èìååì
                        Z1                       Z1
             µ = EX =        xdx = 1/2,   α2 =        x2 dx = 1/3,
                         0                       0

îòêóäà äèñïåðñèÿ σ 2 = 1/3 − 1/4 = 1/12. Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ðàñïðåäåëå-
íèÿ U(a, b) (ñì. ïðåäëîæåíèå 6.1) µ = a + (b − a)/2, σ 2 = (b − a)2 /12.
   Ñèììåòðè÷íîå ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå U(a, b) èìååò íóëåâîé êîýô-
ôèöèåíò àñèììåòðèè, â òî âðåìÿ êàê êîýôôèöèåíò ýêñöåññà γ2 îòðèöàòåëåí
(íå áóäåì çàíèìàòüñÿ åãî âû÷èñëåíèåì).
   Ï ð è ì å ð 6.4 (ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå E(θ)). Íîñèòåëü ðàñïðå-
äåëåíèÿ X = [ 0, ∞ ]  ðàñøèðåííàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ ÷àñòü ïðÿìîé R. Íàè-

                                     66

Страницы