Составители:
Рубрика:
31 32
называемую исправленной дисперсией. Понятно, что
г
p
DS ⎯→⎯
2
,
так как
1
1
→
−n
n
при ∞→n . С другой стороны,
ггвв
DD
n
n
n
n
)D(M
n
n
D
n
n
M)S(M =
−
⋅
−
=
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
1
111
2
.
Тем самым доказана.
Теорема 3.4. Исправленная дисперсия
2
S является состоятельной и
несмещенной оценкой для дисперсии генеральной
г
D .
Заметим, что для выборок большого объема множитель
1−n
n
бли-
зок к 1 и поэтому случайные величины
2
S и
в
D мало отличаются друг
от друга. Однако для выборок малого объема это отличие может быть
существенным.
Возникает вопрос: будет ли несмещенная оценка
2
S эффективной.
Для ответа предположим, что случайная величина
X
подчиняется
нормальному распределению
),a(N
σ
, а величины
n
XXX ,...,,
21
,
как обычно,
n независимых экземпляров независимой величины Х. То-
гда минимальная дисперсия несмещенной оценки для дисперсий равна
n
D
4
min
2
σ
=
. (3.13)
В п. 4.1 будет показано, что величина
2
S представима в виде
2
1
2
2
1
−
−
=
n
n
S
χ
σ
, (3.14)
где
2
1−n
χ
– случайная величина, имеющая
2
χ
– распределение с 1
−
n
степенями свободы. Поэтому
1
2
1
4
2
1
2
4
2
−
=
−
=
−
n
)(D
)n(
)S(D
n
σ
χ
σ
, (3.15)
из этого следует
min
2
1
)(
D
n
n
SD
−
=
. (3.16)
Следовательно,
2
S , будучи несмещенной оценкой дисперсии
)( XD , не является эффективной оценкой. Однако при достаточно
больших
n
увеличение )(
2
SD по сравнению с
min
D пренебрежи-
тельно мало.
Заметим, что несмещенная эффективная оценка дисперсии
)( XD
нормально распределенной величины
),a(NX
σ
=
имеет вид
2
1
2
0
)(
1
∑
=
−=
n
i
i
aX
n
S .
Однако в эту формулу входит математическое ожидание
a
, которое,
как правило, заранее неизвестно.
3.4. Точечная оценка вероятности события
Обозначим через )( Ap неизвестную вероятность события A в од-
ном испытании. Для оценивания
)(Ap
проведем n независимых ис-
пытаний, в которых событие
A произошло
m
раз. Тогда случайная ве-
личина
n
m
p =
*
(3.17)
является частностью (относительной частотой) события
A . Свойства
этой точечной оценки определяет.
Теорема 3.5. Относительная частота
nmp /
*
= появления события
A в n испытаниях есть состоятельная оценка вероятности )( Ap .
Доказательство. Состоятельность оценки
*
p вытекает из теоремы
Бернулли, согласно которой для любого
0>
ε
выполняется неравенст-
во
1=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
<−
∞→
ε
)A(P
n
m
Plim
n
(3.18)
или в других обозначениях:
)( Ap
n
m
p
⎯→⎯ .
Для доказательства несмещенности этой оценки зафиксируем число
испытаний
n . Найдем математическое ожидание частности m/n, имея в
называемую исправленной дисперсией. Понятно, что 2
Следовательно, S , будучи несмещенной оценкой дисперсии
2 p
S ⎯⎯→ Dг , D( X ) , не является эффективной оценкой. Однако при достаточно
n 2
больших n увеличение D ( S ) по сравнению с Dmin пренебрежи-
так как → 1 при n → ∞ . С другой стороны,
n −1 тельно мало.
⎛ n ⎞ n n n −1 Заметим, что несмещенная эффективная оценка дисперсии D ( X )
M( S 2 ) = M⎜ Dв ⎟ = M ( Dв ) = ⋅ Dг = Dг .
⎝ n −1 ⎠ n −1 n −1 n нормально распределенной величины X = N ( a ,σ ) имеет вид
Тем самым доказана.
1 n
2
Теорема 3.4. Исправленная дисперсия S является состоятельной и S 02 = ∑ ( X i − a)2 .
n i =1
несмещенной оценкой для дисперсии генеральной Dг .
Однако в эту формулу входит математическое ожидание a , которое,
n как правило, заранее неизвестно.
Заметим, что для выборок большого объема множитель бли-
n −1 3.4. Точечная оценка вероятности события
2
зок к 1 и поэтому случайные величины S и Dв мало отличаются друг Обозначим через p ( A) неизвестную вероятность события A в од-
от друга. Однако для выборок малого объема это отличие может быть ном испытании. Для оценивания p( A) проведем n независимых ис-
существенным.
2 пытаний, в которых событие A произошло m раз. Тогда случайная ве-
Возникает вопрос: будет ли несмещенная оценка S эффективной. личина
Для ответа предположим, что случайная величина X подчиняется
m
нормальному распределению N ( a ,σ ) , а величины X 1 , X 2 ,..., X n , p* = (3.17)
n
как обычно, n независимых экземпляров независимой величины Х. То- является частностью (относительной частотой) события A . Свойства
гда минимальная дисперсия несмещенной оценки для дисперсий равна этой точечной оценки определяет.
2σ 4 *
Теорема 3.5. Относительная частота p = m / n появления события
Dmin = . (3.13)
n A в n испытаниях есть состоятельная оценка вероятности p( A) .
2
В п. 4.1 будет показано, что величина S представима в виде *
Доказательство. Состоятельность оценки p вытекает из теоремы
2
σ ε >0
S2 = χ n2−1 , (3.14) Бернулли, согласно которой для любого выполняется неравенст-
n −1 во
где χ n2−1 – случайная величина, имеющая χ 2 – распределение с n − 1 ⎛m ⎞
lim P⎜ − P( A ) < ε ⎟ = 1 (3.18)
степенями свободы. Поэтому n→∞ ⎝ n ⎠
σ4 2σ 4 или в других обозначениях:
D( S 2 ) = D( χ n2−1 ) = , (3.15) m p
( n − 1 )2 n −1 ⎯⎯→ p ( A) .
из этого следует n
Для доказательства несмещенности этой оценки зафиксируем число
n
D( S 2 ) = Dmin . (3.16) испытаний n . Найдем математическое ожидание частности m/n, имея в
n −1
31 32
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- …
- следующая ›
- последняя »
