Составители:
Рубрика:
27 28
Полученный результат имеет простой физический смысл: чем мень-
ше точность данного прибора, тем с меньшим значением коэффициента
результат его должен входить в оценку.
Заметим, что если все приборы имеют одинаковую точность, т.е.
21
1
n
...
σσ
== , то nc
i
/1
=
и в качестве оценки получим
в
Xl =
*
.
3.2. Точечная оценка математического ожидания
Математическое ожидание )( XM генеральной совокупности
X
назовем генеральной средней
г
x , т.е.
)(XMx
г
= .
Теорема 3.1. Выборочное среднее
в
X есть состоятельная и не-
смещенная оценка генеральной средней
г
x
.
Доказательство. Вначале покажем, что
в
X есть состоятельная
оценка для
г
x , т.е.
г
p
n
x
n
X...XX
⎯→⎯
++
+
21
.
По следствию из теоремы Чебышева для одинаково распределенных
случайных величин имеем
)X(M
n
X...XX
p
n
⎯→⎯
++
+
21
.
Так как
г
xXМ
=
)( , то используя свойства математического ожи-
дания, получим
.x
n
)X(nM
n
)X(M...)X(M
n
X...X
M)X(M
г
nn
в
==
=
++
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
=
11
Теорема доказана.
Теорема 3.2. Пусть случайная величина
X
имеет нормальное рас-
пределение
),a(N
σ
, где
a
– математическое ожидание,
2
σ
– диспер-
сия случайной величины
X
. Тогда выборочное среднее
в
X является
эффективной несмещенной оценкой для
г
x .
Доказательство. Необходимо показать, что дисперсия
)(
в
XD
сов-
падает с минимальной дисперсией, равной в случае нормального рас-
пределения
n/
2
σ
, а ее математическое ожидание )X(M
в
равно
г
x .
Найдем дисперсию
)(
в
XD :
n
n
XnD
XDXDXD
n
i
i
n
n
i
i
n
в
2
2
1
1
1
1
)(
)()()(
2
σ
====
∑∑
==
. (3.9)
Мы проверили при доказательстве теоремы 3.1, что
гв
x)X(M = .
Так как дисперсия
)(
в
XD равна минимальному значению, то выбо-
рочное среднее
в
X является эффективной несмещенной оценкой. Тео-
рема доказана.
Таким образом показано, что выборочное среднее
в
X имеет все три
свойства «хорошей» оценки и этим объясняется ее широкое использо-
вание в качестве оценки математического ожидания генеральной сово-
купности.
Напомним, что по конкретной выборке
n
xx ...,,
1
вычисляется (см.
(2.10), (2.11), (2.12)) «конкретное значение»
в
x , являющееся одним из
множества возможных значений случайной величины
в
X .
3.3. Точечные оценки дисперсии
Дисперсию )( XD генеральной совокупности
X
будем называть
генеральной дисперсией
г
D , т.е.
)(XDD
г
=
. (3.10)
Теорема 3.3. Выборочная дисперсия
в
D является состоятельной, но
смещенной оценкой генеральной дисперсии
г
D .
Доказательство. Получим сначала формулу для вычисления
в
D .
Согласно определению
Полученный результат имеет простой физический смысл: чем мень- сия случайной величины X . Тогда выборочное среднее X в является
ше точность данного прибора, тем с меньшим значением коэффициента
результат его должен входить в оценку. эффективной несмещенной оценкой для x г .
Заметим, что если все приборы имеют одинаковую точность, т.е.
Доказательство. Необходимо показать, что дисперсия D ( X в ) сов-
σ 11 = ... = σ n2 , то ci = 1 / n и в качестве оценки получим l* = X в . падает с минимальной дисперсией, равной в случае нормального рас-
3.2. Точечная оценка математического ожидания пределения σ 2 / n , а ее математическое ожидание M ( X в ) равно x г .
Математическое ожидание M ( X ) генеральной совокупности X Найдем дисперсию D( X в ) :
назовем генеральной средней x г , т.е. n n nD( X ) σ2
D( X в ) = D( n1 ∑ Xi ) = 1
∑ D( X i ) = = . (3.9)
xг = M ( X ) . i =1 n 2 i =1 n n2
Мы проверили при доказательстве теоремы 3.1, что M ( X в ) = x г .
Теорема 3.1. Выборочное среднее X в есть состоятельная и не-
Так как дисперсия D ( X в ) равна минимальному значению, то выбо-
смещенная оценка генеральной средней xг .
рочное среднее X в является эффективной несмещенной оценкой. Тео-
Доказательство. Вначале покажем, что X в есть состоятельная рема доказана.
оценка для x г , т.е. Таким образом показано, что выборочное среднее X в имеет все три
свойства «хорошей» оценки и этим объясняется ее широкое использо-
X 1 + X 2+... + X n p вание в качестве оценки математического ожидания генеральной сово-
⎯⎯→ x г .
n купности.
По следствию из теоремы Чебышева для одинаково распределенных Напомним, что по конкретной выборке x1 , ..., xn вычисляется (см.
случайных величин имеем (2.10), (2.11), (2.12)) «конкретное значение» xв , являющееся одним из
X 1 + X 2+... + X n p
⎯⎯→ M ( X ) . множества возможных значений случайной величины Xв .
n
Так как М ( X ) = x г , то используя свойства математического ожи- 3.3. Точечные оценки дисперсии
дания, получим Дисперсию D( X ) генеральной совокупности X будем называть
⎛ X + ... + X n ⎞ M ( X 1 ) + ... + M ( X n ) генеральной дисперсией Dг , т.е.
M( Xв ) = M⎜ 1 ⎟= =
⎝ n ⎠ n Dг = D ( X ) . (3.10)
nM ( X ) Теорема 3.3. Выборочная дисперсия Dв является состоятельной, но
= = xг .
n смещенной оценкой генеральной дисперсии Dг .
Теорема доказана.
Доказательство. Получим сначала формулу для вычисления Dв .
Теорема 3.2. Пусть случайная величина X имеет нормальное рас-
Согласно определению
пределение N ( a ,σ ) , где a – математическое ожидание, σ 2 – диспер-
27 28
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- …
- следующая ›
- последняя »
