Математическая статистика. Воскобойников Ю.Е - 13 стр.

   Для широкого класса оценок неравенство Рао-Крамера указывает                        где    c1 , ..., cn – некоторые неизвестные константы. Из всех несмещен-
точную нижнюю границу для дисперсий различных оценок одного и то-
го же параметра. Если существует оценка, дисперсия которой равна в                     ных оценок данного класса нужно выбрать ту, которая имеет наимень-
точности этой нижней границе, то она называется эффективной оцен-                      шую дисперсию.
                                                                                         Из несмещенности оценок получим
кой. Оценка, имеющая наименьшую дисперсию среди оценок данного
                                                                                                                             n               n                    n
класса, называется эффективной в данном классе оценок. Поясним по-
нятие эффективной оценки несколькими примерами.
                                                                                                        M (l * ) = M ( ∑ ci X i ) = ∑ ci M ( X i ) = l ∑ ci .
                                                                                                                         i =1               i =1                 i =1
   Предположим, что генеральная совокупность распределена по нор-
                                                                                             Значит,
мальному закону с параметрами a и σ , причем a – математическое
                                                                                                                              n
ожидание, подлежащее оценке, а             σ 2 – известная дисперсия. Оказывает-                                             ∑ ci = 1.                                   (3.7)
                                                                   *                                                         i =1
ся, что для любой несмещенной регулярной оценки                   a имеет место не-       Пользуясь свойствами дисперсии и независимостью проведенных
равенство                                                                              измерений, получим
                                                                                                                                             n
                                       *     σ2                                                                                   D(l * ) = ∑ ci2σ i2 .
                                  D( a ) ≥        ,                            (3.6)
                                              n                                                                                             i =1
                                                                                             Числа     c1 , ..., cn должны удовлетворять условию (3.7) и обеспечи-
где n – объем выборки, по которой производится оценивание. Если в
                                                                                       вать минимум функции
качестве   a * принять X в , то дисперсия этой оценки, как будет показа-                                                                            n
                     2                                                                                                   F ( c1 , ..., cn ) = ∑ ci2σ i2 .
                 σ                                                                                                                                 i =1
но ниже, равна           , т.е.   X в – эффективная оценка параметра а, так как
                  n                                                                    Мы получим задачу на условный экстремум, которую можно решить с
для нее достигается нижняя грань в неравенстве (3.6).                                  помощью функции Лагранжа:
   Рассмотрим на примере понятие эффективной в данном классе                                                                                               n
оценки. Предположим, что один и тот же предмет, истинная величина                                        L( c1 , ..., cn ) = F ( c1 , ..., cn ) − λ ( ∑ ci − 1) .
которого равна l , измеряется n раз различными приборами, имеющи-                                                                                         i =1
                                                                                       Найдем критические точки функции Лагранжа:
ми различную точность. Пусть X i – результаты i -го измерения. Тогда
                                                                                                              ∂L
                                                                                                                  = 2ciσ i2 − λ = 0, i = 1, ..., n ;
                            M ( X i ) = l,     D( X i ) = σ 2 ,                                               ∂ci
если считать, что измерения проводятся без систематических ошибок.                                                                  n
            2
Дисперсия σ i характеризует точность измерений. Для оценки истин-                                                                   ∑ ci − 1 = 0 .
                                                                                                                                  i =1
ного значения параметра l рассмотрим класс линейных оценок, т.е.                       Отсюда находим значение ci
оценок вида
                                                                                                                         1
                             l * = c1 X 1 + ... + cn X n ,                                                            σ i2
                                                                                                             ci =    n
                                                                                                                                   , i = 1, ..., n.                     (3.8)
                                                                                                                             1
                                                                                                                    ∑         2
                                                                                                                    i =1σ i

                                             25                                                                                            26