Составители:
Рубрика:
29 30
n
)XX(
D
n
i
в
i
в
∑
−
=
=1
2
.
С другой стороны,
.XnXXnXnX
)XXXX()XX(
n
i
i
n
i
i
iв
n
i
i
n
i
вi
ввв
в
∑
−
∑
=+−=
=+
∑
−=
∑
−
==
==
1
22
1
222
2
1
2
1
2
2
2
Тогда из определения дисперсии следует
2
1
2
1
22
в
n
i
i
n
i
вi
в
X
n
X
n
XnX
D −
∑
=
∑
−
=
==
.
Воспользуясь теперь следствием из теоремы Чебышева для одинако-
во распределенных случайных величин
2
i
X и свойствами предела по
вероятности, получаем
)(
);()(
22
1
2
XMX
XMXM
n
X
p
в
i
p
n
i
i
⎯→⎯
=⎯→⎯
∑
=
и, значит,
г
p
в
DXDXMXMD ==−⎯→⎯ )()()(
22
.
Следовательно, дисперсия выборочная
в
D является состоятельной
оценкой для дисперсии генеральной. Вычислим математическое ожида-
ние
в
D и убедимся, что
гв
DDM ≠)( . Имеем
=−
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
∑∑
==
)X(M
n
X
MX
n
X
M)D(M
в
n
i
i
в
n
i
i
в
2
1
2
2
1
2
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
−
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
∑
=
2
11
2
n
X...X
M
n
X
M
n
n
i
i
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
++++
−=
∑
≠
2
22
2
2
1
2
n
XXX...XX
M)X(M
ji
jin
,
где
∑
≠ ji
ji
XX означает сумму произведений величин
i
X и
j
X для
всех значений
i и
j
от 1 до n , но не равных между собой. Так как
i
X
и
j
X независимы при
j
i
≠
, то
)()()(
jiji
XMXMXXM
=
.
Поэтому, продолжая вычисления
)(
В
DM , получаем
=
∑
+++
−=
≠
2
22
1
2
n
)X(M)X(M)X(M...X(M
)X(M)D(M
ji
jin
в
=
−+
−=
n
)X(M)n(n)X(nM
)X(M
22
2
1
[
]
.D
n
n
)X(M)X(M
n
n
n
)n(n)X(nM
)X(M
г
1
11
22
2
2
−
=
−
−
=
−+
−=
Множитель
)1(
−
nn объясняется тем, что по правилу произведения
количество различных пар (
), ji
при
nji
≤
≠
≤
1
равно
)1( −nn
.
Итак, мы получили, что
гв
D
n
n
DM
1
)(
−
= (3.11)
и, следовательно,
в
D – смещенная оценка для дисперсии генеральной.
Теорема доказана.
Полученная формула (3.11) для вычисления математического ожи-
дания дисперсии выборочной позволяет указать состоятельную и не-
смещенную оценку для дисперсии генеральной. Для этого рассмотрим
случайную величину
в
D
n
n
S
1
2
−
=
, (3.12)
n ⎛ X 12 + X 22 + ... + X n2 + ∑ X i X j ⎞
2
∑( X i − X в ) ⎜ i≠ j
⎟
Dв = i =1
. = M( X 2 )− M⎜ 2
⎟,
n ⎜⎜ n ⎟⎟
С другой стороны, ⎝ ⎠
n
2 2 2
n где ∑ X i X j означает сумму произведений величин X i и X j для
∑( Xi − X в ) = ∑( Xi − 2X в Xi + X ) = i≠ j
в
i=1 i=1 всех значений i и j от 1 до n , но не равных между собой. Так как X i
n n
= ∑ Xi2 − 2nX 2 + nX 2 =∑ Xi2 − nX 2 . и X j независимы при i ≠ j , то
в в в
i=1 i=1
Тогда из определения дисперсии следует M ( X i X j ) = M ( X i )M ( X j ) .
n n Поэтому, продолжая вычисления M ( DВ ) , получаем
2 2 2
∑ X i − nX в ∑ Xi
Dв = i =1
= i =1
− X в2 . M ( X 12 + ... + M ( X n2 ) + ∑ M ( X i )M ( X j )
n n i≠ j
M ( Dв ) = M ( X 2 ) − =
Воспользуясь теперь следствием из теоремы Чебышева для одинако- n2
во распределенных случайных величин X i2 и свойствами предела по
вероятности, получаем nM ( X 2 ) + n( n − 1 )M 2 ( X )
n = M( X 2 )− =
2 n
∑ Xi
i =1
n
p
⎯⎯→ M ( X i2 ) = M ( X 2 ); = M( X 2 )−
nM ( X 2 ) + n( n − 1 ) n − 1
n
=
n
[
M ( X 2 ) − M 2( X ) ]
p
X в ⎯⎯→ M ( X ) n −1
и, значит, = Dг .
n
p
Dв ⎯⎯→ M ( X 2 ) − M 2 ( X ) = D ( X ) = Dг . Множитель n( n − 1) объясняется тем, что по правилу произведения
Следовательно, дисперсия выборочная Dв является состоятельной количество различных пар ( i , j ) при 1 ≤ i ≠ j ≤ n равно n( n − 1) .
оценкой для дисперсии генеральной. Вычислим математическое ожида- Итак, мы получили, что
ние Dв и убедимся, что M ( Dв ) ≠ Dг . Имеем n −1
M ( Dв ) = Dг (3.11)
⎛ n 2 ⎞ ⎛ n 2⎞ n
⎜ ∑ Xi ⎟ ⎜ ∑ Xi ⎟ и, следовательно, Dв – смещенная оценка для дисперсии генеральной.
M ( D в ) = M ⎜ i =1 − X в2 ⎟ = M ⎜ i = 1 ⎟− M( X 2 )=
в
⎜ n ⎟ ⎜ n ⎟ Теорема доказана.
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Полученная формула (3.11) для вычисления математического ожи-
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ дания дисперсии выборочной позволяет указать состоятельную и не-
⎛ n 2 ⎞ смещенную оценку для дисперсии генеральной. Для этого рассмотрим
⎜ ∑ Xi ⎟ 2
= M ⎜ i =1 ⎟ − M ⎛⎜ X 1 + ... + X n ⎞⎟ = случайную величину
⎜ n ⎟ ⎝ n ⎠ n
⎜ ⎟ S2 = Dв , (3.12)
⎝ ⎠ n −1
29 30
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- …
- следующая ›
- последняя »
