Математическая статистика. Воскобойников Ю.Е - 11 стр.

   Пример 2.7. Необходимо вычислить значение выборочной диспер-
сии по выборке примера 2.1.
                                                                                   (см. пункт 2.1). Поэтому оценка           θ n* , как функция случайных величин,
Решение. Для этого воспользуемся формулой (2.19). Первоначально,                   также является случайной и свойства            θ n*      можно исследовать с исполь-
используя дискретный вариационный ряд (табл. 2.1), вычислим
                                                                                   зованием понятий теории вероятностей.
 7
    (i ) 2
∑( x ) ωi = 0 ⋅ 60
                8 + 1⋅ 17 + 4 ⋅ 16 + 9 ⋅ 10 +16⋅ 6 + 25⋅ 2 + 49⋅ 1 = 6.09.(2.22)
                       60       60       60      60      60      60
                                                                                      В общем случае точечная оценка             θ n*    не связана с оцениваемым па-
i=1
                                                                                   раметром   θ   . Поэтому естественно потребовать, чтобы              θ n*   была близка
       Так как значение     xв было вычислено в примере 2.6 ( xв = 2.0 ), то
                                                                                   к θ . Это требование формируется в терминах несмещенности, состоя-
                        7                                                          тельности и эффективности.
               d в = ∑ ( x (i ) ) 2 ω i − ( xв ) 2 = 6.09 − 4.0 = 2.09 .
                       i =1
                                                                                      Оценка   θ n*   параметра   θ       называется несмещенной, если для любого
                                                                                   фиксированного объема выборки n математическое ожидание оценки
       3. Точечные оценки неизвестных параметров                                   равно оцениваемому параметру, т.е.

       3.1. Определение и свойства точечной оценки                                                                    M (θ n* ) = θ .                                 (3.1)

                                                                                      Поясним смысл этого равенства следующим примером. Имеются два
   Большинство случайных величин, рассмотренных в курсе теории ве-
роятностей, имели распределения, зависящие от одного или нескольких                алгоритма вычисления оценок для параметра θ . Значения оценок, по-
параметров. Так, биномиальное распределение зависит от параметров                  строенных первым алгоритмом по различным выборкам объема n ге-
 p и n , нормальное – от параметров a и σ , распределение Пуассона –               неральной совокупности, приведены на рис 3.1,а, а с использованием
                                                                                   второго алгоритма – на рис 3.1,б. Видим, что среднее значение оценок
от параметра λ и т.п. Одной из основных задач математической стати-
                                                                                   на рис 3.1,а совпадает с θ , и, естественно, такие оценки предпочти-
стики (см. разд. 1) является оценивание этих параметров по наблюдае-
                                                                                   тельнее по сравнению с оценками рис 3.1,б, которые концентрируются
мым данным, т.е. по выборочной совокупности. В разд. 2 были рассмот-
рены выборочные среднее и дисперсия, которые интерпретировались                    слева от значения     θ   и для которых       M (θ n* ) < θ , т.е. эти оценки явля-
как приближенные значения неизвестных значений математического                     ются смещенными.
ожидания и дисперсии изучаемой случайной величины X , т.е. явля-
лись оценками этих неизвестных характеристик.                                         Оценка   θ n*   называется состоятельной, если
    Выборочная характеристика, используемая в качестве приближенно-
                                                                                                                                 p
го значения неизвестного параметра генеральной совокупности, называ-                                                       θ n* ⎯⎯→ θ        ,
ется точечной оценкой этого параметра.
    В этом определении слово «точечная» означает, что значение оценки              т.е. для любого    ε >0   при n → ∞

                                                                                                                      (                 )
представляет собой число или точку на числовой оси.
    Обозначим через θ некоторый неизвестный параметр генеральной                                                  P θ n* − θ < ε → 1 .                                (3.2)
совокупности, а через         θ n* –   точечную оценку этого параметра. Оценка
                                                                                      Поясним смысл этого предельного соотношения. Пусть ε – очень
θ n*    есть функция   ϕ ( X 1 , X 2 , ..., X n )   от n независимых экземпляров   малое положительное число. Тогда (3.2) означает, что чем больше число
                                                                                   наблюдений n , тем больше уверенность (вероятность) в незначитель-
X 1 , X 2 , ..., X n генеральной совокупности, где n – объем выборки

                                              21                                                                                22