Составители:
Рубрика:
19 20
Решение. Используя дискретный вариационный ряд (табл. 2.1) и со-
отношение (2.1), имеем
027543210
60
1
60
2
60
6
60
10
60
16
60
17
60
8
.x
в
=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= .
Так как значение выборочного среднего есть выборочный аналог
математического ожидания, то имеет смысл ввести характеристику, ко-
торая бы оценивала величину рассеивания значений
n
xxx ,...,,
21
от-
носительно
в
x , а именно
∑
=
−
=
n
i
вi
в
n
xx
d
1
2
)(
. (2.14)
Число
в
d является значением случайной величины
∑
−
=
=
n
i
вi
в
n
)XX(
D
1
2
, (2.15)
которую мы будем называть выборочной дисперсией.
Если данные представлены в виде вариационного ряда, то целесооб-
разно для вычислений
в
d вместо (2.14) использовать следующие соот-
ношения:
• для дискретного вариационного ряда
∑
−=
∑
−
=
=
=
m
i
iв
m
i
iв
)i(
в
)xx(
n
n)xx(
d
)i(
1
2
1
2
ω
; (2.16)
• для интервального вариационного ряда
∑
∑
=
=
−=
−
=
m
i
iвi
m
i
iвi
в
xz
n
nxz
d
1
2*
1
2*
)(
)(
ω
, (2.17)
где
*
,
ii
z
ω
– те же, что и в формулах (2.11), (2.12).
Можно показать справедливость следующих выражений, являющих-
ся аналогами (2.14), (2.16), (2.17) соответственно:
∑
=
−=
n
i
вв
)x()x(
n
d
)i(
1
22
1
; (2.18)
∑
=
−=
m
i
вiв
xxd
i
1
22
)()(
)(
ω
; (2.19)
∑
=
−=
m
i
вiiв
xzd
1
22*
)()(
ω
. (2.20)
Приведенные ниже соотношения оказываются более удобными для
программной реализации вычислений значения
в
d . Однако если гене-
ральная дисперсия
2
σ
существенно меньше квадрата математического
ожидания, т.е.
22
))(( xM<<
σ
, то из-за ошибок округления при ма-
шинном счете по этим формулам возможно ситуация
0
<
в
d и тогда
следует положить
0
=
в
d .
Сравним формулу (2.16) с формулой дисперсии дискретной случай-
ной величины
∑
=
−=
m
i
ii
pXMxXD
1
2
))(()( . (2.21)
Различие между этими формулами состоит в том, что: а) величина
)(XD не случайна,
в
d – значение случайной величины, которое может
меняться от выборки к выборке; б) в формуле (2.21)
i
x – возможные
значения случайной величины
i
pX , – их вероятности, )(XM – мате-
матическое ожидание. В формуле (2.16)
)(i
x – варианты случайной ве-
личины,
i
ω
– их относительные частоты, а
в
x – значения выборочного
среднего. Несмотря на различия, между двумя этими формулами много
общего. Во-первых, обе они являются мерой рассеивания. Во-вторых,
кроме внешнего сходства формул, соответствующие дисперсии облада-
ют схожими свойствами. В-третьих, как будет показано ниже, выбороч-
ная дисперсия при определенных условиях, является хорошей оценкой
для генеральной дисперсии
)(XD .
Решение. Используя дискретный вариационный ряд (табл. 2.1) и со- 1 n (i) 2 2
отношение (2.1), имеем dв = ∑ ( x ) − ( xв ) ; (2.18)
n i =1
8 + 1 ⋅ 17 + 2 ⋅ 16 + 3 ⋅ 10 + 4 ⋅ 6 + 5 ⋅ 2 + 7 ⋅ 1 = 2.0 .
xв = 0 ⋅ 60 60 60 60 60 60 60
m
Так как значение выборочного среднего есть выборочный аналог d в = ∑ ( x ( i ) ) 2 ω i − ( xв ) 2 ; (2.19)
математического ожидания, то имеет смысл ввести характеристику, ко- i =1
торая бы оценивала величину рассеивания значений x1 , x2 ,..., xn от-
m
носительно xв , а именно d в = ∑ ( zi* ) 2 ω i − ( xв ) 2 . (2.20)
i =1
n ( x i − xв ) 2
dв = ∑ . (2.14) Приведенные ниже соотношения оказываются более удобными для
i =1 n программной реализации вычислений значения d в . Однако если гене-
Число d в является значением случайной величины ральная дисперсия σ2 существенно меньше квадрата математического
( X − X в )2
n ожидания, т.е. σ << ( M ( x )) 2 , то
2
из-за ошибок округления при ма-
Dв = ∑ i , (2.15)
i =1 n шинном счете по этим формулам возможно ситуация d в < 0 и тогда
которую мы будем называть выборочной дисперсией. следует положить dв = 0 .
Если данные представлены в виде вариационного ряда, то целесооб- Сравним формулу (2.16) с формулой дисперсии дискретной случай-
разно для вычислений d в вместо (2.14) использовать следующие соот- ной величины
ношения: m
• для дискретного вариационного ряда D( X ) = ∑ ( xi − M ( X )) 2 pi . (2.21)
m i =1
(i)
∑( x − xв )2 ni m Различие между этими формулами состоит в том, что: а) величина
i =1
dв = = ∑ ( x ( i ) − xв ) 2 ω i ; (2.16) D( X ) не случайна, d в – значение случайной величины, которое может
n i =1
меняться от выборки к выборке; б) в формуле (2.21) xi – возможные
• для интервального вариационного ряда
значения случайной величины X , pi – их вероятности, M ( X ) – мате-
m
* 2
∑ ( zi − x в ) ni m матическое ожидание. В формуле (2.16) x (i ) – варианты случайной ве-
i =1 * 2
dв = = ∑ ( zi − xв ) ω i , (2.17) личины, ω i – их относительные частоты, а xв – значения выборочного
n i =1
среднего. Несмотря на различия, между двумя этими формулами много
*
где ω i , zi – те же, что и в формулах (2.11), (2.12). общего. Во-первых, обе они являются мерой рассеивания. Во-вторых,
кроме внешнего сходства формул, соответствующие дисперсии облада-
Можно показать справедливость следующих выражений, являющих-
ют схожими свойствами. В-третьих, как будет показано ниже, выбороч-
ся аналогами (2.14), (2.16), (2.17) соответственно:
ная дисперсия при определенных условиях, является хорошей оценкой
для генеральной дисперсии D ( X ) .
19 20
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- …
- следующая ›
- последняя »
