Составители:
Рубрика:
17 18
Рис. 2.2. График гистограммы частностей (пример 2.5)
2.5. Выборочное среднее и выборочная дисперсия
Рассмотренная выборочная функция распределения и гистограмма
позволяют делать выводы о закономерностях исследуемого массового
явления. Однако они не удобны для описания группирования и рассеи-
вания наблюдаемых данных. Для этого используются так называемые
числовые характеристики выборочной совокупности, из которых рас-
смотрим выборочное среднее и выборочную дисперсию.
Выборочным средним
в
X
называется случайная величина, опреде-
ленная формулой
n
XXX
X
n
в
+
++
=
...
21
. (2.9)
Так как конкретная выборка
n
xx ,...,
1
является реализацией значе-
ний случайных величин
n
XX ,...,
1
, то среднее значение выборки
n
xxx
x
n
в
+
++
=
...
21
(2.10)
является одной из реализаций случайной величины
в
X . Другими сло-
вами,
в
x есть одно из значений случайной величины
в
X .
Если данные представлены в виде вариационного ряда, то целесооб-
разно для вычисления выборочного среднего одно из следующих соот-
ношений:
• для дискретного вариационного ряда
∑
==
=
∑
∑
=
=
m
i
i
i
n
nx
в
xx
m
i
i
m
i
i
i
1
)(
1
1
)(
ω
; (2.11)
• для интервального вариационного ряда
∑
==
=
∑
∑
=
=
m
i
ii
n
nz
в
zx
m
i
i
m
i
ii
1
*
1
1
*
ω
, (2.12)
где
i
ω
– частность (относительная частота), соответствующая i-й вари-
анте или i-му частичному интервалу;
*
i
z – середина i-го частичного ин-
тервала, т.е.
....,,2,1,
2
)(
1
*
mi
zz
z
ii
i
=
+
=
+
Сравним математическое ожидание дискретной случайной величины
Х, вычисляемой по формуле
∑
=
=
m
i
ii
pxXM
1
)( , (2.13)
и значение выборочного среднего, определяемое (2.11). Прежде всего,
очевидна их внешняя схожесть. Однако в формуле (2.13)
i
x – возмож-
ные значения случайной величины, а
i
p – вероятности. В формуле
(2.11)
)(i
x – варианты случайной величины, полученные в результате
наблюдений,
i
ω
– их относительная частота. Далее, математическое
ожидание не является случайной величиной, а выборочное среднее –
случайная величина, значение которой меняется от выборки к выборке.
Несмотря на это, как будет показано ниже, выборочное среднее при оп-
ределенных условиях выступает как «хорошая» оценка математическо-
го ожидания.
Пример 2.6. Вычислим значение выборочного среднего по выборке
примера 2.1.
• для дискретного вариационного ряда
m
∑ x ( i ) ni m
xв = i =1
m
= ∑ x (i )ω i ; (2.11)
∑ ni i =1
i =1
• для интервального вариационного ряда
m
∑ z i* ni m
xв = i =1
m
= ∑ ω i zi* , (2.12)
∑ ni i =1
i =1
Рис. 2.2. График гистограммы частностей (пример 2.5) где ω i – частность (относительная частота), соответствующая i-й вари-
*
анте или i-му частичному интервалу; zi – середина i-го частичного ин-
2.5. Выборочное среднее и выборочная дисперсия тервала, т.е.
Рассмотренная выборочная функция распределения и гистограмма ( z i + z i +1 )
позволяют делать выводы о закономерностях исследуемого массового zi* = , i = 1,2, ..., m.
явления. Однако они не удобны для описания группирования и рассеи- 2
вания наблюдаемых данных. Для этого используются так называемые Сравним математическое ожидание дискретной случайной величины
числовые характеристики выборочной совокупности, из которых рас- Х, вычисляемой по формуле
смотрим выборочное среднее и выборочную дисперсию.
m
Выборочным средним X в называется случайная величина, опреде- M ( X ) = ∑ xi pi , (2.13)
ленная формулой i =1
X 1 + X 2 + ... + X n
Xв = . (2.9) и значение выборочного среднего, определяемое (2.11). Прежде всего,
n очевидна их внешняя схожесть. Однако в формуле (2.13) xi – возмож-
Так как конкретная выборка x1 ,..., xn является реализацией значе-
ные значения случайной величины, а pi – вероятности. В формуле
ний случайных величин X 1 ,..., X n , то среднее значение выборки (i )
(2.11) x – варианты случайной величины, полученные в результате
x + x2 + ... + xn
xв = 1 (2.10) наблюдений, ω i – их относительная частота. Далее, математическое
n ожидание не является случайной величиной, а выборочное среднее –
является одной из реализаций случайной величины X в . Другими сло- случайная величина, значение которой меняется от выборки к выборке.
Несмотря на это, как будет показано ниже, выборочное среднее при оп-
вами, x в есть одно из значений случайной величины X в .
ределенных условиях выступает как «хорошая» оценка математическо-
Если данные представлены в виде вариационного ряда, то целесооб- го ожидания.
разно для вычисления выборочного среднего одно из следующих соот- Пример 2.6. Вычислим значение выборочного среднего по выборке
ношений: примера 2.1.
17 18
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- …
- следующая ›
- последняя »
