Математическая статистика. Воскобойников Ю.Е - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

13 14
Из определения (2.4) имеем следующие свойства функции
)(
*
xF
n
:
1.
10 ≤≤ )x(F
*
n
; (2.5)
2.
)(
*
xF
n
– неубывающая функция;
3.
.1)(;0)(
**
=∞=−∞
nn
FF
Напоминаем, что такими же свойствами обладает и функция распре-
деления
)(xF
(вспомните эти свойства и сравните).
Функция
)(
*
xF
n
является «ступенчатой», имеются разрывы в точ-
ках, которым соответствуют наблюдаемые значения вариантов. Вели-
чина скачка равна относительной частоте варианта.
Аналитически
)(
*
xF
n
задается следующим соотношением:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
>
=≤≤
≤
=
−
−
=
∑
,1
;,...,2,1,
;0
)(
)(
)()1(
1
1
)1(
*
m
ii
i
i
in
xxпри
mixxxпри
xxпри
xF
ω
(2.6)
где
i
ω
– соответствующие относительные частоты, определяемые вы-
ражением (2.1),
)(i
x – элементы вариационного ряда (варианты).
Замечание. В случае интервального вариационного ряда под
)(i
x
понимается середина i-го частичного интервала.
Перед вычислением
)(
*
xF
n
полезно построить дискретный или ин-
тервальный вариационный ряд.
♦Пример 2.4. Построить выборочную функцию распределения по
наблюдаемым данным, приведенным в примере 2.1.
Решение. Используя соответствующий этим данным дискретный ва-
риационный ряд (см. табл. 2.1), вычислим значения
)(
*
xF
n
по формуле
(2.6) и занесем эти значения в табл. 2.3.
Таблица 2.3
x
)(
*
60
xF
x ≤ 1
0
0 < x ≤ 1
60
8
1
=
ω
1 < x ≤ 2
60
25
21
=+
ωω
2 < x ≤ 3
60
41
321
=++
ωωω
3 < x ≤ 4
60
51
4321
=+++
ωωωω
4 < x ≤ 5
60
57
54321
=++++
ωωωωω
5 < x ≤ 7
60
59
654321
=+++++
ωωωωωω
x > 7
1
60
60
7654321
==++++++
ωωωωωωω
Из график
)(
*
60
xF (рис. 2.1) видно, что )(
*
60
xF удовлетворяет
свойствам (2.5).
Рис. 2.1. График выборочной функции распределения (пример 2.4)
Задача 2.1. Построить выборочную функцию распределения по на-
блюдаемым данным, приведенным в примере 2.3. 
                                                                        *                                                                           Таблица 2.3
      Из определения (2.4) имеем следующие свойства функции Fn ( x ) :
                                                                                                                *
                *
                                                                                             x                 F60 ( x)
      1. 0 ≤ Fn ( x ) ≤ 1 ;                                                 (2.5)
            *                                                                              x≤1            0
      2. Fn ( x ) – неубывающая функция;
          *                                                                              07            ω1 + ω 2 + ω 3 + ω 4 + ω 5 + ω 6 + ω 7 =   60
                                                                                                                                                          =1
                                                                                                                                                     60
             ⎪
             ⎪i −1
 Fn* ( x ) = ⎨ ∑ ω i при x (i −1) ≤ x ≤ x (i ) , i = 1,2,..., m;             (2.6)                       *                               *
                                                                                        Из график       F60 ( x ) (рис. 2.1) видно, что F60 ( x ) удовлетворяет
             ⎪i =1
             ⎪            (m)                                                        свойствам (2.5).
             ⎩1 при x > x ,
где    ωi   – соответствующие относительные частоты, определяемые вы-
                         (i )
ражением (2.1), x               – элементы вариационного ряда (варианты).
                                                                              (i )
   Замечание. В случае интервального вариационного ряда под x
понимается середина i-го частичного интервала.
                                        *
      Перед вычислением Fn ( x ) полезно построить дискретный или ин-
тервальный вариационный ряд.
   ♦Пример 2.4. Построить выборочную функцию распределения по
наблюдаемым данным, приведенным в примере 2.1.
   Решение. Используя соответствующий этим данным дискретный ва-
                                                               *
риационный ряд (см. табл. 2.1), вычислим значения Fn ( x ) по формуле
(2.6) и занесем эти значения в табл. 2.3.                                                Рис. 2.1. График выборочной функции распределения (пример 2.4)

                                                                                        Задача 2.1. Построить выборочную функцию распределения по на-
                                                                                     блюдаемым данным, приведенным в примере 2.3.


                                                      13                                                                       14

Страницы