Составители:
Рубрика:
23 24
ном отклонении
*
n
θ
от неизвестного параметра
θ
. Очевидно, что «хо-
рошая оценка» должна быть состоятельной, иначе эта оценка не имеет
практического смысла, так как увеличение объема исходной информа-
ции не будет приближать нас к «истинному» значению
θ
.
Предположим, что имеются две состоятельные и несмещенные
оценки
)x...,,x();x...,,x(
n
)*(
nn
)*(
n 12
2
11
1
ϕθϕθ
== (3.3)
одного и того же параметра
θ
. Как из двух этих оценок выбрать луч-
шую? Каждая из них является случайной величиной, и мы не можем
предсказать индивидуальное значение оценки в каждом частном случае.
Однако, рассматривая в качестве меры концентрации распределения
оценки
*
n
θ
около значения параметра
θ
величину
2*
)(
θθ
−
n
M , мы
можем теперь точно охарактеризовать сравнительную эффективность
оценок
)1*(
n
θ
и
)2*(
n
θ
. В качестве меры эффективности принимается
отношение
Рис. 3.1. К определению несмещенной оценки
Рис. 3.2. К определению эффективной оценки
2)2(*
2)1*(
)(
)(
θθ
θθ
−
−
=
n
n
M
M
e
. (3.4)
Если значение
1>e , то оценка
)2*(
n
θ
более эффективна, чем
)1*(
n
θ
. В
случае несмещенных оценок
θθθθ
== )(M,)(M
)*(
)(*
n
2
1
и поэтому
)(
)(
)2(*
)1*(
n
n
D
D
e
θ
θ
= , (3.5)
где
)(
*
n
D
θ
– дисперсия оценки
*
n
θ
.
Таким образом, несмещенная оценка
*
n
θ
параметра
θ
называется
несмещенной эффективной, если она среди всех других несмещенных
оценок того же параметра обладает наименьшей дисперсией.
Приведенная на рис 3.2,а оценка
*
n
θ
является более эффективной
по сравнению с оценкой, значения которой нанесены на рис 3.2,б (по-
чему?).
Как же выяснить, является ли несмещенная оценка эффективной?
Очевидно, для этого необходимо сравнить дисперсию этой оценки с
минимальной дисперсией.
θ
*
n
θ
a)
θ
*
n
θ
б)
θ
*
n
θ
a)
θ
*
n
θ
б)
ном отклонении θ n* от неизвестного параметра θ . Очевидно, что «хо-
рошая оценка» должна быть состоятельной, иначе эта оценка не имеет a)
практического смысла, так как увеличение объема исходной информа-
ции не будет приближать нас к «истинному» значению θ .
Предположим, что имеются две состоятельные и несмещенные θ *
n
оценки θ
θ n*( 1 ) = ϕ1( x1 , ..., xn ); θ n*( 2 ) = ϕ 2 ( x1 , ..., xn ) (3.3)
б)
одного и того же параметра θ . Как из двух этих оценок выбрать луч-
шую? Каждая из них является случайной величиной, и мы не можем
предсказать индивидуальное значение оценки в каждом частном случае. θ *
n
Однако, рассматривая в качестве меры концентрации распределения
оценки θ n* около значения параметра θ величину M (θ n
*
− θ ) 2 , мы
θ
можем теперь точно охарактеризовать сравнительную эффективность
Рис. 3.2. К определению эффективной оценки
оценок θ n*(1) и θ n*( 2) . В качестве меры эффективности принимается
отношение M (θ n*(1) − θ ) 2
e= . (3.4)
a) M (θ n*( 2 ) − θ ) 2
Если значение e > 1 , то оценка θ n*( 2) более эффективна, чем θ n*(1) . В
θ *
n случае несмещенных оценок M ( θ n* ( 1 ) ) = θ , M ( θ *( 2 ) ) = θ и поэтому
θ
D (θ n*(1) )
e= , (3.5)
D (θ n*( 2 ) )
б)
где D (θ n* ) – дисперсия оценки θ n* .
θ *
n
Таким образом, несмещенная оценка θ n* параметра θ называется
несмещенной эффективной, если она среди всех других несмещенных
θ оценок того же параметра обладает наименьшей дисперсией.
Приведенная на рис 3.2,а оценка θ n* является более эффективной
Рис. 3.1. К определению несмещенной оценки
по сравнению с оценкой, значения которой нанесены на рис 3.2,б (по-
чему?).
Как же выяснить, является ли несмещенная оценка эффективной?
Очевидно, для этого необходимо сравнить дисперсию этой оценки с
минимальной дисперсией.
23 24
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- …
- следующая ›
- последняя »
