Математическая статистика. Воскобойников Ю.Е - 19 стр.

                                    ∂ ln L                                              Поэтому логарифмическая функция максимального правдоподобия
                                           =0                                           имеет вид
                                      ∂p
                                                                                                    ln L = −nλ + ( x1 + ... + xn ) ln λ − ln( x1!... xn ! )
критическую точку. Имеем
                                                                                        Находим критическую точку, решая уравнение
                             ∂ ln L m n − m
                                   = −      .                                                                                   ∂ ln L
                               ∂p   p 1− p                                                                                             = 0.
   Решая уравнение
                                                                                                                                 ∂λ
                                                                                        Получим
                                m n−m                                                                                           x1 + ... + x n
                                 −     =0,                                                                             −n+                     =0
                                p 1− p                                                                                                λ
находим p кр = m . Убедимся, что при данном значении параметра                                            x 1 + ...+ x n
               n
                                                                                        Отсюда   λкр =          n
                                                                                                                           . Так как
 pкр функции ln L достигает максимума. Для этого нужно проверить,
что                                                                                                                 ∂ 2 lnL            x1 + ... + xn
                                                                                                                               = −                     <0
                     ∂ 2 ln L       m             n−m                                                                ∂λ 2                   λ2
                                =         −   < 0.                                      при   λ = λкр ,   то найденная критическая точка есть точка максимума.
                      ∂p 2          p2
                                   ( 1 − p )2
Подставляя в это неравенство вместо p значение p кр убеждаемся в его                    Поэтому оценкой максимального правдоподобия для параметра                       λ   яв-
                                                                                        ляется случайной величиной
справедливости. Значит, p кр = m – оценка максимального правдопо-                                                                     X 1 + ... + X n
                                      n                                                                               λ*МП =                          ,
            *
добия, т.е. p МП = m . Заметим, что полученная оценка – относитель-
                                                                                                                                             n
                    n
                                                                                        т.е. X в .
ная частота – является состоятельной и несмещенной оценкой для пара-
метра p .                                                                                   Пример 3.3. Найти оценку максимального правдоподобия для пара-
                                                                                        метра α показательного распределения
   Пример 3.2. Найти оценку максимального правдоподобия для пара-
метра λ распределения Пуассона.                                                                                  ⎧αe −αx , α > 0;
   Решение. Напомним, что распределение Пуассона имеет вид
                                                                                                        p( x ) = ⎨                                  (3.21)
                                                                                                                           ⎩   0,      x ≤ 0.
                                                  λm         −λ
                         P( X = m) =                     e        ,                        Решение. По выборке x1 , ..., xn , состоящей из положительных чи-
                                                  m!                                    сел, находим
где m принимает любые целые неотрицательные значения. Пусть                                                                     n
 x1 , ..., xn – выборка из генеральной совокупности X . Тогда                                      L( x1 , ..., xn , α ) = ∏ αe −αx i = α n e −α ( x1 + ... + x n ) .
                                                                                                                               i =1
                                                   n     λxi          −λ                Поэтому
                   L( x1 , ..., xn , λ ) = ∏                      e        .
                                                  i =1   xi !                                                  ln L = n ln α − α ( x1 + ... + xn ) .
Преобразовав произведение, получим                                                      Решая уравнение
                                                   x1 + ...+ x n                                                                 ∂ ln L
                                         n    λ
             L( x1 , ..., xn , λ ) = ∏                                     e − nλ   .                                                   =0
                                      i =1 x1!⋅ x2 !⋅... ⋅ xn                                                                     ∂α
                                             37                                                                                           38