Составители:
Рубрика:
39 40
находим
n
xx
n
++
=
...
1
α
. Так как условие
0
ln
22
2
<−=
∂
∂
α
α
nL
при
кр
λ
λ
= выполняется, то оценкой максимального правдоподобия
для параметра
α
является
в
X
1
*
МП
α =
.
Пример 3.4. Найти оценки максимального правдоподобия для пара-
метров
α
и
σ
нормально распределенной генеральной совокупно-
сти.
Решение. Учитывая, что плотность распределения в данном случае
есть
2
2
2
)(
2
1
),,(
σ
σπ
σα
ax
exp
−
−
= ,
получим по выборке
n
xx ...,,
1
()
.ee),a,x...,,x(L
n
i
i
i
)ax(
n
n
n
i
)ax(
n
∑
−
−
=
−
−
=
=
∏
=
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
σ
σ
σπ
σπ
σ
Отсюда
.
)ax(
lnnlnLln
n
i
in
∑
−
−−−=
=1
2
2
2
2
2
σ
σπ
Находим критические точки этой функции, решая систему уравнений
0
Lln
;0
a
Lln
=
σ∂
∂
=
∂
∂
.
Вычисляя частные производные, получим
0
1
2
=
∑
−
=
∂
∂
=
n
i
i
)ax(
a
Lln
σ
,
0)(
1ln
1
2
3
=
∑
−+−=
∂
∂
=
n
i
i
ax
nL
σ
σσ
.
Отсюда
;
n
x...x
a
n1
кр
+
+
=
(3.22)
n
)a(x
σ
n
1i
2
крi
2
кр
∑
=
−
=
. (3.23)
Проверим, что при найденных значениях
кр
a
и
кр
σ
функция
Lln принимает максимальное значение. Для этого нужно проверить
выполнение неравенств
0
ln
2
2
<
∂
∂
a
L
,
0
2
22
2
2
2
>
∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
a
Lln
a
Lln
a
Lln
a
Lln
σ
σ
.
Вычислим вторые производные
0
ln
22
2
<−=
∂
∂
σ
n
a
L
;
∑
=
−
−=
∂∂
∂
=
∂∂
∂
n
i
i
ax
a
L
a
L
1
3
22
2
lnln
σ
σσ
;
∑
=
−−=
∂
=
∂
∂
n
i
i
)ax(
nnLln
1
2
4222
2
3
σσσσ
. (3.24)
Подставляя значения для
кр
a и
кр
σ
из (3.22) и (3.23), получаем:
;xx
a
Lln
n
i
n
i
ii
0
2
11
3
2
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∑∑
−−=
∂∂
∂
==
σ
σ
,
d
n
nd
d
d
nLln
в
в
в
в
23
2
2
2
−=−=
∂
∂
σ
(3.25)
где
в
d – значения дисперсии выборочной.
Вычисляя определитель в критической точке, получим
n x + ... + x n
находим α= . Так как условие a кр = 1 ; (3.22)
x1 + ... + xn n
n
∂ 2 ln L
=−
n
<0 ∑ (xi − aкр )2
∂α 2 α2 i =1
2
σ кр = . (3.23)
при λ = λкр выполняется, то оценкой максимального правдоподобия
n
Проверим, что при найденных значениях a кр и σ кр функция
для параметра α является
ln L принимает максимальное значение. Для этого нужно проверить
α*МП = 1
Xв . выполнение неравенств
Пример 3.4. Найти оценки максимального правдоподобия для пара- ∂ 2 ln L
< 0,
метров α и σ нормально распределенной генеральной совокупно- ∂a 2
сти.
∂ 2 ln L ∂ 2 ln L
Решение. Учитывая, что плотность распределения в данном случае
∂a2 ∂a∂σ
есть > 0.
2 ∂ 2 ln L ∂ 2 ln L
( x −a) ∂a∂σ
1 − ∂a 2
p( x, α , σ ) = e 2σ 2 , Вычислим вторые производные
2π σ
∂ 2 ln L n
получим по выборке x1 , ..., xn
2
=−
< 0;
2 2
n ( x −a )
∂a σ2
( xi − a ) i
n 1 −
1 −∑
2 ∂ 2 ln L ∂ 2 ln L n x −a
L( x1 , ..., xn , a ,σ ) = ∏ e 2σ 2
= e i =1 2σ . = = −2 ∑ i 3 ;
i =1 2π σ ( 2π σ n )n 2
∂a∂σ ∂σ∂a i =1 σ
∂ ln L n n 3 n
Отсюда 2
= 2
= 2
− 4 ∑ i
( x − a )2 . (3.24)
∂σ ∂σ σ σ i =1
n ( xi − a )2 Подставляя значения для a кр и σ кр из (3.22) и (3.23), получаем:
ln L = − n2 ln 2π − n ln σ − ∑ .
i =1 2σ 2
∂ 2 ln L 2 ⎛n n ⎞
Находим критические точки этой функции, решая систему уравнений = − 3 ⎜ ∑ xi − ∑ xi ⎟ = 0;
∂ ln L ∂ ln L ∂σ∂a σ ⎝ i =1 i =1 ⎠
= 0; =0.
∂a ∂σ ∂ 2 ln L n 3 2n
Вычисляя частные производные, получим 2
= − 2 nd в = − , (3.25)
∂σ dв dв dв
∂ ln L n ( xi − a )
= ∑ = 0,
∂a i =1 σ
2
где d в – значения дисперсии выборочной.
∂ ln L n 1 n
= − + 3 ∑ ( xi − a ) 2 = 0 . Вычисляя определитель в критической точке, получим
∂σ σ σ i =1
Отсюда
39 40
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- …
- следующая ›
- последняя »
