Математическая статистика. Воскобойников Ю.Е - 21 стр.

               ∂ 2 ln L    ∂ 2 ln L                                                                    4. Интервальные оценки неизвестных параметров
                            ∂a∂σ          − dn                0           2n 2
                 ∂a 2                 =           в
                                                                      =          > 0.                4.1. Некоторые распределения выборочных
               ∂ 2 ln L    ∂ 2 ln L           0          − d2 n           d в2                            характеристик
                ∂a∂σ        ∂σ 2                                  в

                                          2
Поэтому при значениях a кр и σ кр , определенных по формулам (3.22)                                 Генеральные совокупности часто имеют нормальный закон распре-
                                                                                                 деления. В этом случае многие выборочные характеристики, в том чис-
и (3.23), функция ln L принимает максимальное значение. Следова-                                               2
                                                                                                 ле X в , Dв , S выражаются через небольшое число распределений. Как
тельно, оценками максимального правдоподобия будут
                                                                                                 правило, в математической статистике используются не плотности этих
                          a*МП = X в ; σ *МП = Dв .                                              распределений, а некоторые характеристики, представленные таблица-
   Пример 3.5. Генеральная совокупность распределена равномерно на                               ми. Чаще всего в качестве такой характеристики выступает квантиль
интервале ( a , b) . По выборке x1 , ..., xn оценить параметры a и b .                           распределения.
                                                                                                    Квантилем уровня p (0 < p < 1) или p -квантилем случайной ве-
   Решение. Найдем оценки максимального правдоподобия для пара-
метров a и b . Плотность генеральной совокупности имеет вид                                      личины Х называется такое число      d p , что вероятность P( X < d p )
                                    ⎧⎪ 1 , x ∈ ( a, b)                                           равна заданной величине р.
                   p ( x , a , b) = ⎨ b − a            .                                (3.26)      Из определения следует, что если непрерывная случайная величина
                                     ⎪⎩0, x ∉ ( a, b)
                                                                                                 Х имеет плотность распределения p(x ) , то квантиль d p определяется
Поэтому функция максимального правдоподобия
                                       n                                                         равенством
                     L( x1 ,..., xn , a, b) = ∏ p( xi , a, b)                                                               dp
                                                       i =1
равна нулю, если хотя бы один сомножитель произведения равен нулю,                                                           ∫ p( x )dx = p .                       (4.1)
                                                                                                                           −∞
и больше нуля, если все значения x1 , ..., xn лежат на интервале ( a , b) ,
т.е.                                                                                                Это означает, что площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс,
         a ≤ min( x1 ,..., xn ), b ≥ max( x1 ,..., xn ) .                               (3.27)   кривой f (x ) и прямой x = d p , равна величине р. На рис.4.1,а показан

                                      1                                                          квантиль d 0.1 , а на рис.4.1,6 квантиль d 0.9 . Площади заштрихованных
Тогда L( x1 ,..., xn , a , b) =              . Значение этой функции будет мак-
                                  (b − a ) n                                                     фигур равны 0.1 и 0.9 соответственно.
симальным, если величина (b − a ) минимальна. Учитывая (3.27), полу-                                Рассмотрим несколько распределений, которым подчиняются выбо-
                                                                                                 рочные характеристики и которые используются для построения интер-
чим
                                                                                                 вальных оценок.
         a кр = min( x1 ,..., xn ), bкр = max( x1 ,..., x n ) ,
                                                                                                    Распределение χ 2 (распределение К. Пирсона). Пусть N1 ,..., N n
т.е.
                                                                                                 – независимые нормально распределенные случайные величины с пара-
         a*МП = min( X 1 ,..., X n ), b*МП = max( X 1 ,..., X n ) .                              метрами (0,1). Распределение случайной величины

                                                                                                                   χ n2 = N12 + N 22 + N 32 + ... + N n2            (4.2)

                                                                                                 называется распределением хи-квадрат с п степенями свободы, а сама
                                                                                                 величина   χ 2 – случайной величиной хи-квадрат с п степенями свободы.
                                                  41                                                                                   42