Составители:
Рубрика:
45 46
щих
21
, NN . Из (4.5) следует, что )(uF равна вероятности попадания
случайной точки
),(
21
NN в круг радиуса x . Из курса теории веро-
ятности известно, что искомую вероятность можно вычислить как
двойной интеграл от функции плотности
),( vup по этому кругу
x
K ,
т.е.
∫∫
=
x
K
dudvvupxF ),()( . (4.6)
Обозначим через
)(xf функцию плотности случайной величины
2
2
χ
.
Согласно определению,
)()( xFxf
′
=
, т.е.
x
xFxxF
xf
x
Δ
−
Δ+
=
→Δ
)()(
lim)(
0
.
Но из (4.6) получим
∫∫
Δ+
=
Δ
+
xx
K
dudvvupxxF ),()( , (4.7)
где
xx
K
Δ+
– круг радиуса xx Δ+ с центром в начале координат.
Из (4.6) и (4.7) получим
∫∫
=
−
Δ
+
R
dudvvupxFxxF ),()()( , (4.8)
где
R
– кольцо, между окружностями с радиусами xx
Δ
+ и x .
По теореме о среднем интеграл (4.8) равен значению подынтегральной
функции
),( vup , вычисленной в некоторой точке М из области R, ум-
ноженной на площадь области R. Пусть
),(
11
vu – координаты точки М.
Площадь кольца
xxxxS
Δ
=−Δ+
=
π
π
π
)( .
Поэтому
2
2
1
2
1
2
1
11
vu
ex)v,u(Sp)x(F)xx(F
+
−
==−+
π
ΔπΔ
.
Так как
2
1
2
1
vu +
– квадрат расстояния от начала координат до точки М,
то
xxvux
Δ
+≤+≤
2
1
2
1
и, значит,
2
1
2
1
vu + стремится к
x
, когда
xΔ стремится к нулю. Мы предполагаем, что 0>
Δ
x , но это не умень-
шает общности рассуждений. Итак,
.e
x
ex
lim
x
)x(F)xx(F
lim)x(f
x
vu
x
x
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
0
0
−
−
→
→
==
=
−
+
=
+
Δ
Δπ
Δ
Δ
π
Δ
Δ
(4.9)
На рис. 4.2 показаны плотности распределения
)x(f случайной ве-
личины
2
n
χ
при
62
=
=
n;n
и 20
=
n . Видно, что при увеличении n
плотность
)x(f
«приближается» к плотности нормального распределе-
ния.
Рис. 4.2. Плотность распределения хи-кватрат
Обратим внимание на одно замечательное свойство распределения
2
n
χ
. Строго говоря, это свойство можно доказать, используя, например,
производящие функции. Свойство состоит в том, что сумма независи-
мых случайных величин
22
mn
χχ
+ также распределена по закону хи-
квадрат с
)( mn
+
степенями свободы. Объясняется это тем, что слу-
чайная величина
22
mn
χχ
+ представляется в виде суммы
)( mn +
квадратов случайных величин, независимых и нормально распределен-
ных с параметрами (0,1).
щих N1 , N 2 . Из (4.5) следует, что F (u ) равна вероятности попадания Δx стремится к нулю. Мы предполагаем, что Δx > 0 , но это не умень-
шает общности рассуждений. Итак,
случайной точки ( N1 , N 2 ) в круг радиуса x . Из курса теории веро-
ятности известно, что искомую вероятность можно вычислить как F ( x + Δx ) − F ( x )
f ( x ) = lim =
двойной интеграл от функции плотности p (u, v ) по этому кругу K x , Δx→0 Δx
т.е. 2
u +v 2 (4.9)
− 1 1
πΔx 21π e 1 − 2x 2
F ( x ) = ∫ ∫ p(u, v )dudv . (4.6) = lim e . =
K x
Δx→0 Δx 2
На рис. 4.2 показаны плотности распределения f ( x ) случайной ве-
Обозначим через f (x ) функцию плотности случайной величины χ 22 .
Согласно определению, f ( x ) = F ′( x ) , т.е. личины χ n2 при n = 2; n = 6 и n = 20 . Видно, что при увеличении n
плотность f ( x ) «приближается» к плотности нормального распределе-
F ( x + Δx ) − F ( x ) ния.
f ( x ) = lim .
Δx → 0 Δx
Но из (4.6) получим
F ( x + Δx ) = ∫ ∫ p(u, v )dudv , (4.7)
K x + Δx
где K x + Δx – круг радиуса x + Δx с центром в начале координат.
Из (4.6) и (4.7) получим
F ( x + Δx ) − F ( x ) = ∫ ∫ p(u, v )dudv , (4.8)
R
где R – кольцо, между окружностями с радиусами x + Δx и x .
По теореме о среднем интеграл (4.8) равен значению подынтегральной
функции p (u, v ) , вычисленной в некоторой точке М из области R, ум-
ноженной на площадь области R. Пусть (u1 , v1 ) – координаты точки М. Рис. 4.2. Плотность распределения хи-кватрат
Площадь кольца
Обратим внимание на одно замечательное свойство распределения
S = π ( x + Δx ) − πx = πΔx .
χ n2 . Строго говоря, это свойство можно доказать, используя, например,
Поэтому
производящие функции. Свойство состоит в том, что сумма независи-
u2 +v2
1 − 1 1 мых случайных величин χ n2 + χ m2 также распределена по закону хи-
F ( x + Δx ) − F ( x ) = Sp( u1 , v1 ) = πΔx e 2 .
2π квадрат с ( n + m ) степенями свободы. Объясняется это тем, что слу-
2 2
Так как u1 + v1 – квадрат расстояния от начала координат до точки М, чайная величина χ n2 + χ m2 представляется в виде суммы (n + m)
2 2 2 2 квадратов случайных величин, независимых и нормально распределен-
то x ≤ u1 + v1 ≤ x + Δx и, значит, u1 + v1 стремится к x , когда
ных с параметрами (0,1).
45 46
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- …
- следующая ›
- последняя »
