Математическая статистика. Воскобойников Ю.Е - 25 стр.

                      ( Xв − a ) n                                           Интервальной оценкой для параметра                  θ       называется такой интервал
                                       = N ( 0 ,1 ) .                     ⎛⎜ θ ,θ ⎞⎟ со случайными границами, что
                                                                             *    *
                           σ
                                                                           ⎝       ⎠
Так как X в и Dв независимы, то по (4.10)                                                                                        *
                                                                                                         P( θ * < θ < θ ) = γ .                                     (4.12)
               ( Xв − a ) n n −1        nDв           ( Xв − a ) n −1     Вероятность   γ   называется надежностью интервальной оценки или до-
     Tn −1 =                       :                =                 .
                      σ                     σ   2
                                                             Dв           верительной вероятностью, случайные величины θ * , θ – довери-
                                                                                                                                                               *

Итак, мы получили                                                                                                                         *
   Следствие. Если условия теоремы о распределении выборочных ха-         тельными границами, а сам интервал (θ * , θ ) иногда называют дове-
рактеристик выполнены, то случайная величина                              рительным интервалом. Центром этого интервала является значение
                                                                                              *
                          ( Xв − a ) n −1                                 точечной оценки θ .
                                                                             Надежность γ принято выбирать равной 0.95, 0.99. Тогда событие,
                                 Dв                                                                                          *
                                                                          состоящее в том, что интервал (θ * , θ ) покроет параметр θ , будет
имеет распределение Стьюдента с n − 1 степенью свободы.
                                                                          практически достоверным.
Напомним, что исправленная дисперсия S 2 определяется как                    Общая теория построения интервальных оценок заключается в опре-
                                                                          делении случайной величины, зависящей от оцениваемого параметра.
                                    n
                          S2 =         Dв .                               Зная распределение этой случайной величины, находят соответствую-
                                  n −1                                    щие доверительные границы и сам доверительный интервал с требуе-
                                                                          мой точностью. Посмотрим, как эта идея реализуется для различных
   Тогда получаем новое
                                                                          параметров.
   Следствие. Если условия теоремы о распределении выборочных ха-
рактеристик выполнены, то случайная величина                                     4.3. Интервальные оценки математического ожидания
                               ( Xв − a ) n                                           нормального распределения

                                       S2                                    Пусть генеральная совокупность Х распределена по нормальному
имеет распределение с n − 1 степенью свободы.                             закону N ( a ,σ ) , причем параметр σ известен, а параметр a требует-
                                                                          ся оценить с надежностью γ . По теореме о распределении выборочных
    4.2. Понятие интервальной оценки параметра случайной
         величины                                                                                                         ( X в − a) n
                                                                          характеристик случайная величина                                             распределена по за-
   Вычисляя на основании результатов наблюдений точечную оценку                                                                      σ
θ * неизвестного параметра θ  , мы понимаем, что величина θ являет-
                                                                   *      кону N (0,1) . На рис. 4.3 изображен график функции плотности этой
ся (в силу своей случайности) лишь приближенным значением парамет-                                                                                 2
                                                                                                                                                  −x
ра θ . При большом числе наблюдений точность приближения бывает           случайной величины, т.е. кривая                  y=            1    e    2    . Выберем число
достаточной для практических выводов в силу несмещенности, состоя-                                                                       2π
тельности и эффективности «хороших» оценок. Для выборок малого            xγ так, что заштрихованная площадь равна γ , т.е.
объема точечные оценки могут значительно отличаться от оцениваемо-
го параметра и вопрос о точности получаемых оценок становится очень
                                                                                            P ( − xγ <
                                                                                                         (X в − a )   n
                                                                                                                           < xγ ) = γ .                             (4.13)
важным. В математической статистике он решается введением интер-                                              σ
вальных оценок.
                                    49                                                                                50