Составители:
Рубрика:
53 54
Р(0.19 < а < 2.81) = 0.
Поэтому только для интервала (4.17) со случайными границами
можно утверждать, что
950311311 .).Xa.X(P
вв
=+<<− .
Определим теперь интервальную оценку для неизвестной генераль-
ной средней
г
x , нормально распределенной генеральной совокупности
Х в том случае, когда дисперсия генеральная
г
D неизвестна, т.е. по-
строим доверительный интервал для параметра
a
, если
σ
неизвестно.
В отличие от предыдущего случая, вместо случайной величины
σ
naX
в
)( −
, распределенной по закону )1,0(N , рассмотрим случайную
величину
в
в
D
naX 1)( −−
, которая согласно следствию из теоремы о рас-
пределении выборочных характеристик распределена по закону Стью-
дента
1−n
T . При заданном значении
γ
, пользуясь табл. П2, вычислим
значение
),( nt
γ
из условия
γγγ
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
<
−−
<− )n,(t
D
n)aX(
)n,(tP
в
в
1
, (4.18)
где
γ
– надежность интервальной оценки. Замена случайной величины
σ
naX
в
)( −
на случайную величину
в
в
D
naX 1)( −−
вызвана тем, что закон
распределения последней случайной величины известен и в ее запись не
входит неизвестный в данном случае параметр
σ
. Из условия (4.18)
получаем
γ
γγ
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−<<
−
−
1
),(
1
),(
n
Dnt
Xa
n
Dnt
XP
в
в
в
в
.
Таким образом, интервальная оценка надежности
γ
для неизвестной
генеральной средней а имеет границы
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
−
−
1
),(
,
1
),(
n
Dnt
X
n
Dnt
X
в
в
в
в
γγ
.
Выразим границы интервала через исправленную дисперсию
2
S . Так,
как
в
n
n
DS
1
2
−
=
, то
n
S
n
D
в
=
−1
. Поэтому
n
Snt
n
Dnt
в
),(
1
),(
γ
γ
=
−
.
Значит, границы доверительного интервала можно записать как
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−
n
Snt
X
n
Snt
X
вв
),(
,
),(
γγ
, (4.19)
а точность интервальной оценки определить соотношением:
S
n
nt ),(
γ
δ
= . (4.20)
Как и в предыдущем случае, центр интервала находится в точке
в
X ,
но длина интервала
S
n
nt ),(
2
γ
является случайной величиной, прини-
мающей тем меньшие значения, чем больше значение п. Это объясняет-
ся тем, что наличие большей информации
n
xx ,...,
1
о генеральной со-
вокупности Х позволяет сузить интервал.
Пример 4.2. По выборке объема п = 9 из нормально распределенной
генеральной совокупности найдены значения
5.1
=
в
x и 5.1=s . По-
строить интервальную оценку для математического ожидания с надеж-
ностью 95.0
=
γ
.
Решение. Пользуясь табл. П2, находим величину
26.2)9,95.0( =t .
Тогда точность
δ
определяется соотношением (см. (4.20)):
SS
n
St
75.0
3
26.2)9,95.0(
≈==
δ
,
а интервальная опенка имеет границы
(
)
0.75SX0.75S,X
вв
+−
,
которые зависят от двух случайных величин
SX
в
, . Подставляя вместо
Р(0.19 < а < 2.81) = 0. 2
Выразим границы интервала через исправленную дисперсию S . Так,
Поэтому только для интервала (4.17) со случайными границами 2 n D , то Dв S . Поэтому
можно утверждать, что
как S = n −1 в
=
n −1 n
P( X в − 1.31 < a < X в + 1.31 ) = 0.95 .
t (γ , n) Dв t (γ , n) S
Определим теперь интервальную оценку для неизвестной генераль- = .
n −1 n
ной средней x г , нормально распределенной генеральной совокупности
Значит, границы доверительного интервала можно записать как
Х в том случае, когда дисперсия генеральная Dг неизвестна, т.е. по-
строим доверительный интервал для параметра a , если σ неизвестно. ⎛ t (γ , n) S t (γ , n) S ⎞
В отличие от предыдущего случая, вместо случайной величины ⎜ Xв − , Xв + ⎟, (4.19)
( X в −a ) n
⎝ n n ⎠
σ
, распределенной по закону N (0,1) , рассмотрим случайную
а точность интервальной оценки определить соотношением:
( X в − a ) n −1
величину , которая согласно следствию из теоремы о рас- t (γ , n)
Dв δ = S. (4.20)
пределении выборочных характеристик распределена по закону Стью- n
дента Tn −1 . При заданном значении γ , пользуясь табл. П2, вычислим
Как и в предыдущем случае, центр интервала находится в точке X в ,
значение t (γ , n) из условия t (γ ,n )
но длина интервала 2 S является случайной величиной, прини-
⎛ ( Xв − a ) n −1 ⎞ n
P ⎜ − t( γ , n ) < < t( γ , n ) ⎟ = γ , (4.18) мающей тем меньшие значения, чем больше значение п. Это объясняет-
⎜ Dв ⎟
⎝ ⎠ ся тем, что наличие большей информации x1 ,..., x n о генеральной со-
где γ – надежность интервальной оценки. Замена случайной величины вокупности Х позволяет сузить интервал.
( X в −a ) n ( X в − a ) n −1 Пример 4.2. По выборке объема п = 9 из нормально распределенной
на случайную величину вызвана тем, что закон
σ Dв генеральной совокупности найдены значения xв = 1.5 и s = 1.5 . По-
распределения последней случайной величины известен и в ее запись не строить интервальную оценку для математического ожидания с надеж-
входит неизвестный в данном случае параметр σ . Из условия (4.18) ностью γ = 0.95 .
получаем Решение. Пользуясь табл. П2, находим величину t (0.95,9) = 2.26 .
⎛ t (γ , n) Dв t (γ , n) Dв ⎞ δ
P⎜ X в − < a < Xв − ⎟=γ . Тогда точность определяется соотношением (см. (4.20)):
⎜ n −1 n −1 ⎟
⎝ ⎠ t (0.95,9) S 2.26
δ = = S ≈ 0.75S ,
Таким образом, интервальная оценка надежности γ для неизвестной n 3
генеральной средней а имеет границы а интервальная опенка имеет границы
⎛ t (γ , n) Dв t (γ , n) Dв ⎞ (X в − 0.75S, X в + 0.75S ) ,
⎜ Xв − , Xв + ⎟.
⎜ n −1 n −1 ⎟
⎝ ⎠ которые зависят от двух случайных величин X в , S . Подставляя вместо
53 54
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- …
- следующая ›
- последняя »
