Составители:
Рубрика:
51 52
Рис. 4.3. К построению доверительных интервалов
Это значение легко находится с использованием интегральной
функции Лапласа
dtex
x
t
∫
−
=Φ
0
2
2
1
2
)(
π
. Действительно,
γ
γγγγγ
=
Φ
=
−Φ−Φ=
<
<− )(2)()())1,0(( xxxxNxP . (4.14)
Значение
γ
x , удовлетворяющее нелинейному уравнению
2
)(
γ
γ
=Φ x , (4.15)
находится по табл. П1, в которой приведены значения
)(x
Φ
.
Так как
0>σ
, то события
(
)
γ
σ
γ
xx
naX
в
<<−
−
и
n
x
Xa
n
x
X
вв
σσ
γγ
+<<− эквивалентны, а значит, их вероятности
равны:
γ
σσ
γγ
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+<<−
n
x
Xa
n
x
XP
вв
. (4.16)
Таким образом, мы построили для параметра
a доверительный ин-
тервал (интервальную оценку), левая граница которого
n
x
X
в
σ
γ
−
,
правая –
n
x
X
в
σ
γ
+ , а точность –
n
x
σ
δ
γ
= . Центр этого интервала
находится в точке с координатой
в
X , а длина интервала
n
x
σ
γ
2 . Если
объем выборки неограниченно возрастает, то интервал стягивается в
одну точку
в
X , которая является состоятельной и несмещенной оцен-
кой для параметра
a .
Пример 4.1. По выборке объема
п = 9 найдено среднее значение
5.1=
в
x . Считая, что генеральная совокупность распределена по нор-
мальному закону с известным
2
=
σ
, определить интервальную оценку
для математического ожидания с надежностью
95.0
=
γ
.
Решение. Используя табл. П1 функции
)(x
Φ
, находим, что
475.0
2
95.0
)( ==Φ
γ
x
при
96.1
=
γ
x . Тогда 311961
9
2
.. =⋅=
δ
и доверительный интервал
(4.16) имеет границы
).X,.X(
вв
311311 +−
. Таким образом, с веро-
ятностью 0.95 можно быть уверенным в том, что интервал
).X,.X(
вв
311311 +− (4.17)
накроет параметр
a , или другими словами, с вероятностью 0.95 значе-
ние
в
X дает значение параметра а с точностью
δ
= 1.31.
Заметим, что эта трактовка неверна, если вместо случайной величи-
ны
в
X использовать вычисленное по конкретной выборке значение
в
x = 1.5. Тогда границы интервала (0.19, 2.81) будут не случайными и
возможны два случая:
— точка а лежит внутри этого интервала и тогда
Р(0.19 < а < 2.81) = 1;
— точка а не лежит внутри (0.19, 2.81) и тогда
γ
x
−
x
γ
x
xγ σ
тервал (интервальную оценку), левая граница которого X в − ,
n
xγ σ xγ σ
правая – X в + , а точность – δ = . Центр этого интервала
n n
xγ σ
находится в точке с координатой X в , а длина интервала 2 . Если
n
объем выборки неограниченно возрастает, то интервал стягивается в
одну точку X в , которая является состоятельной и несмещенной оцен-
− xγ xγ x
кой для параметра a .
Пример 4.1. По выборке объема п = 9 найдено среднее значение
Рис. 4.3. К построению доверительных интервалов x в = 1.5 . Считая, что генеральная совокупность распределена по нор-
Это значение легко находится с использованием интегральной мальному закону с известным σ = 2 , определить интервальную оценку
2 для математического ожидания с надежностью γ = 0.95 .
x −t
функции Лапласа Φ ( x ) = 1
e 2 Решение. Используя табл. П1 функции Φ (x ) , находим, что
2π ∫
dt . Действительно,
0
0.95
P( − xγ < N (0,1) < xγ ) = Φ ( xγ ) − Φ ( − xγ ) = 2Φ ( xγ ) = γ . (4.14) Φ ( xγ ) = = 0.475
2
Значение xγ , удовлетворяющее нелинейному уравнению при xγ = 1.96 . Тогда δ = 1.96 ⋅ 2 = 1.31 и доверительный интервал
9
γ (4.16) имеет границы ( X в−1.31, X в+1.31 ) . Таким образом, с веро-
Φ ( xγ ) = , (4.15)
ятностью 0.95 можно быть уверенным в том, что интервал
2
находится по табл. П1, в которой приведены значения Φ (x ) . ( X в−1.31, X в+1.31 ) (4.17)
Так как σ > 0, то события − xγ < (X в − a ) n
< xγ и
накроет параметр a , или другими словами, с вероятностью 0.95 значе-
σ ние X в дает значение параметра а с точностью δ = 1.31.
xγ σ xγ σ Заметим, что эта трактовка неверна, если вместо случайной величи-
Xв − 
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- …
- следующая ›
- последняя »
