Математическая статистика. Воскобойников Ю.Е - 28 стр.

S ее вычисленное значение s = 2, получаем интервал                                     Следовательно, интервал

                                  (X в − 1.5, X в + 1.50 ).                                                ⎛ nD
                                                                                                           ⎜    в   nD             ⎞
                                                                                                                                   ⎟
                                                                                                                  , 2 в                                                    (4.21)
                                                                                                           ⎜χ 2                    ⎟
                                                                                                           ⎝ пр,γ χ лев,γ
Сравнивая эту оценку с интервальной оценкой примера 4.1 (см .(4.17)),
видим, что замена неизвестной величины σ вычисляемой величиной s                                                                   ⎠
приводит к уменьшению точности интервальной оценки и увеличению
длины доверительного интервала. Подставив вместо случайной величи-                     является интервальной оценкой для          σ2    надежности      γ   .
ны X в ее конкретное значение xв = 1.5 , получаем конкретное значе-                       Так как Dв = ( n − 1) S
                                                                                                                    2
                                                                                                                        n , то nDв = (n − 1) S 2 и интервал
ние границ (0; 3).
                                                                                                           ⎛ n −1                  ⎞
       4.4. Интервальные оценки дисперсии нормального                                                      ⎜        2 n −1        2⎟
                                                                                                                  S  ,          S                                          (4.22)
            распределения                                                                                  ⎜ χ2          2
                                                                                                                       χ лев       ⎟
                                                                                                           ⎝ пр,γ            ,γ    ⎠
   Как и при построении интервальных оценок для математического
ожидания, в данном случае также необходимо определить случайную
                                                                                       является также интервальной оценкой для дисперсии σ 2 надежности γ .
величину, распределение которой было известно и включало оценивае-
мый параметр σ . В соответствии с теоремой 4.1 такой отправной точ-                       Заметим, что границы интервалов (4.21), (4.22) являются случайны-
кой для построения доверительного интервала может быть случайная                       ми величинами (почему?) и с вероятностью γ можно утверждать, что
                                                                                                                                                                     2
величина
            nDв
                      , распределенная по закону хи - квадрат с ( n − 1) степе-        интервалы (4.21), (4.22) накроют неизвестную дисперсию σ .
                 2
             σ                                                                            Пример 4.3. По выборке объема п = 20 из нормально распределен-
нями свободы. Заметим, что доверительные интервалы, построенные                        ной генеральной совокупности вычислено значение дисперсии выборки
для параметра a , вообще говоря, можно было выбрать несимметрич-
                                                                                       d в = 1.5 . Построить интервальную оценку для параметра σ 2 надеж-
ными относительно X в и это не противоречило бы определению ин-
тервальной оценки. Но такой выбор интервала, когда в его середине ле-                  ности γ = 0.96 .
                                                                                                                2          2
жит состоятельная и несмещенная оценка параметра, являлся предпоч-                       Решение. Значения    χ лев ,γ , χ пр ,γ       находим из условий:
тительным. В данном случае целесообразно выбрать два предела
  2
χ лев          2
      ,γ , и χ пр ,γ       так, что                                                                (2
                                                                                                 P χ19     2
                                                                                                       < χ лев          )    2      2
                                                                                                                                          (
                                                                                                               ,γ = 0.02; P χ19 < χ пр ,γ = 0.98.               )
                       (
                     P χ n2−1 < χ лев
                                  2
                                          ) (  2        2
                                      ,γ = P χ n −1 > χ пр ,γ =   )   α
                                                                      2
                                                                          ,               Эти условия означают, что
                                                                                                                              2
                                                                                                                            χ лев ,γ   есть квантиль        χ2      – распределе-
                                                                                                                                                2
                                                                                       ния с 19 степенями свободы уровня 0.02, а              χ пр ,γ   – квантиль уровня
где   α = 1−γ , γ          – надежность интервальной оценки.
                               2
                                                     χ n2−1                            0.98. По табл. ПЗ квантилей      χ 2 -распределения находим
      Следовательно,         χ лев ,γ   – квантиль            – распределения уровня
                                                                                                             2                2
        2
α 2 , χ пр ,γ        – уровня 1 − α 2 . Тогда имеет место равенство                                        χ лев ,γ = 8.6 ; χ пр ,γ = 33.7 .

                                                                                          Тогда интервальная оценка (4.21) принимает вид
                               ⎛ 2          nDв     2     ⎞
                              P⎜ χ лев ,γ <     < χ пр ,γ ⎟=γ .
                               ⎝            σ2            ⎠                                                    ( 0.59 Dв , 2.33 Dв ) .

                                               55                                                                                 56