Математическая статистика. Воскобойников Ю.Е - 29 стр.

  Подставляя вычисленное значение d в = 1.5 случайной величины                               ⎛        p* − p       ⎞
                                                                                           P ⎜ − xγ <         < xγ ⎟ = γ .                              (4.24)
Dв , получаем                                                                                ⎜         pq / n      ⎟
                                                                                             ⎝                     ⎠
                           0.89 < σ 2 < 3.488.                            Это число является корнем уравнения

    4.5. Интервальная оценка вероятности события
                                                                                                          Φ ( xγ ) = γ 2 ,
   В п. 3.4 было показано, что "хорошей" точечной оценкой вероятно-       где Φ (x) – функция Лапласа, и корень может быть найден с помощью
                                       *
сти р события является частность p = m / n (см. (3.17)), где п – общее    табл. П1.
число независимых испытаний, в каждом из которых событие А может             Неравенство, стоящее в скобках выражения (4.24), разрешим отно-
произойти с вероятностью р а m – число испытаний, в которых про-          сительно р. Для этого неравенство перепишем в виде эквивалентного
изошло событие А.
   Зададимся надежностью интервальной оценки γ и найдем числа                                                  p* − p
                                                                                                                       < xγ .
p лев,γ , p пр,γ такие, чтобы выполнялось соотношение                                                           pq / n

                P ( p лев ,γ < p < pпр ,γ ) = γ .                (4.23)   Возведем в квадрат и в результате получим
                                                                                                                    p(1 − p) 2
   Интервальную оценку построим для двух случаев: когда число ис-                                ( p * − p) 2 <             xγ .
пытаний п сравнительно велико (np > 10, n > 30) и для малого числа                                                     n
испытаний.                                                                                                 *
                                                                          Далее, возведя в квадрат ( p − p ) и перенеся все члены влево, полу-
   Интервальная оценка вероятности при большом числе испыта-
ний. Если np > 10, n > 30 , то распределение случайной величины           чим

                                      m                                                  ⎛    x2 ⎞       ⎛       x2 ⎞       2
                                   *
                                  p =                                                    ⎜ 1 + γ ⎟ p 2 − ⎜ 2 p* + γ ⎟ p + p* < 0 .
                                      n                                                  ⎜     n ⎟⎠      ⎜        n ⎟⎠
                                                                                         ⎝               ⎝
можно       аппроксимировать           нормальным       распределением
                                                                          Корни p1 и p2 квадратного трехчлена, стоящего в правой части нера-
N ( p , pq / n ) . Следовательно, при этих же условиях распределение      венства, определяются выражениями
           ( p* − p )
величины
              pq / n
                      близко к нормальному с нулевым математическим                p* + xγ2 ( 2n ) − xγ        p* ( 1 − p* ) n + xγ2 ( 4n 2 )
                                                                            p1 =                                                                    ;   (4.25)
ожиданием и единичной дисперсией, т.е.                                                                     1 + xγ2 n
                          p* − p
                                  = N (0.1) .                                       p* + xγ2 ( 2n ) + xγ       p* ( 1 − p* ) n + xγ2 ( 4n 2 )
                           pq / n                                            p2 =                                                               .       (4.26)
                                                                                                           1 + xγ2 n
По аналогии с (4.13) найдем такое число xγ, для которого справедливо
равенство                                                                    Корни этого уравнения и являются границами интервальной оценки
                                                                          (4.23)
                                       57                                                                           58