Составители:
Рубрика:
47 48
Распределение Стьюдента ( Т-распределение). Пусть
)1,0(N –
нормально распределенная случайная величина с параметрами
10 ==
σ
,a , а
2
n
χ
– независимая от )1,0(N случайная величина,
подчиняющаяся распределению хи-квадрат с
n
степенями свободы. То-
гда распределение случайной величины
2
)1,0(
n
n
nN
T
χ
= (4.10)
называется t-распределением или распределением Стьюдента. Сама
случайная величина (4.10) называется
t -величиной с п степенями сво-
боды. Плотность вероятности случайной величины
n
T имеет вид
2
1
2
1
+
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
n
n
x
Bp
nn
,
где
n
B – некоторая константа, удовлетворяющая условию нормирова-
ния
∫
∞
∞−
= 1)( dxxp
n
. При больших значениях п кривая )(xp
n
близка к
кривой – Гаусса распределения
)1,0(N
. Поэтому в практических рас-
четах при
п > 30 часто считают, что
2
2
2
1
)(
x
exp
n
−
=
π
.
Заметим, что функция плотности
)(xp
n
симметрична относительно
оси ординат.
Распределение Фишера (
F -распределение). Пусть
2
n
χ
и
2
m
χ
– независимые случайные величины, имеющие хи-квадрат распределе-
ния с п и m степенями свободы, соответственно. Распределение случай-
ной величины
m
n
F
m
n
mn
2
2
,
χ
χ
= (4.11)
называется F-распределением или распределением Фишера п и m степе-
нями свободы, а сама величина (4.11) –
mn
F
,
величиной. Так как слу-
чайные величины
0
2
≥
n
χ
и ,0
2
≥
m
χ
то
0
,
≥
mn
F
.
В дальнейшем мы часто будем ссылаться на следующую теорему о
распределении выборочных характеристик
в
X и
в
D доказанную Р.
Фишером.
Теорема 4.1 (о распределении выборочных характеристик). Если ге-
неральная совокупность Х распределена по нормальному закону с па-
раметрами
a и
σ
, то:
а) случайная величина
в
X распределена нормально с параметрами
),a(
n
σ
;
б)
2
σ
в
nD имеет распределение
2
1
−n
χ
;
в) случайные величины
в
X и
в
D независимы.
Мы не будем полностью доказывать эту теорему. Обратим внимание
лишь на то, что
в
X есть линейная комбинация
n
nnn
в
XXXX
1
2
1
1
1
... +++=
независимых, нормально распределенных случайных величин. Как от-
мечалось в курсе теории вероятностей, в этом случае случайная величи-
на
в
X распределена нормально. Легко получить, что
a
n
na
n
)x(M...)x(M
n
x...xx
M)X(M
nn
в
==
++
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+++
=
121
,
n
n
n
n
xDxD
n
xx
DXD
nn
в
2
2
2
2
11
)(...)(...
)(
σσ
==
++
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
= .
Тем самым первое утверждение теоремы доказано.
Как следует из в), используя случайные величины
в
X и
в
D , мож-
но составить случайную величину
1−n
T . Действительно, пронормиро-
вав
в
X , получим
Распределение Стьюдента ( Т-распределение). Пусть N (0,1) – называется F-распределением или распределением Фишера п и m степе-
нормально распределенная случайная величина с параметрами нями свободы, а сама величина (4.11) – Fn , m величиной. Так как слу-
a = 0 , σ = 1 , а χ n2 – независимая от N (0,1) случайная величина, чайные величины χ n2 ≥ 0 и χ m2 ≥ 0, то Fn , m ≥ 0.
подчиняющаяся распределению хи-квадрат с n степенями свободы. То- В дальнейшем мы часто будем ссылаться на следующую теорему о
гда распределение случайной величины
распределении выборочных характеристик X в и Dв доказанную Р.
N (0,1) n Фишером.
Tn = (4.10) Теорема 4.1 (о распределении выборочных характеристик). Если ге-
χ n2 неральная совокупность Х распределена по нормальному закону с па-
раметрами a и σ , то:
называется t-распределением или распределением Стьюдента. Сама
случайная величина (4.10) называется t -величиной с п степенями сво- а) случайная величина X в распределена нормально с параметрами
боды. Плотность вероятности случайной величины Tn имеет вид ( a, σ );
n
− n2+1
⎛ x 2 ⎞⎟ б) nDв σ2 имеет распределение χ n2−1 ;
⎜
pn = Bn ⎜1 + ,
⎝ n ⎟⎠ в) случайные величины X в и Dв независимы.
Мы не будем полностью доказывать эту теорему. Обратим внимание
где Bn – некоторая константа, удовлетворяющая условию нормирова- лишь на то, что X в есть линейная комбинация
∞
ния ∫ pn ( x )dx = 1 . При больших значениях п кривая pn (x ) близка к Xв = 1
n
X1 + 1
n
X 2 + ... + 1
n
Xn
−∞
кривой – Гаусса распределения N (0,1) . Поэтому в практических рас- независимых, нормально распределенных случайных величин. Как от-
мечалось в курсе теории вероятностей, в этом случае случайная величи-
четах при п > 30 часто считают, что
на X в распределена нормально. Легко получить, что
2
1 − x2
pn ( x ) = e . ⎛ x + x + ... + xn ⎞ M ( x1 ) + ... + M ( xn ) na
2π M( Xв ) = M⎜ 1 2 ⎟= = =a,
⎝ n ⎠ n n
Заметим, что функция плотности pn (x ) симметрична относительно
2
оси ординат. ⎛ x + ... + xn ⎞ D ( x1 ) + ... + D( xn ) nσ σ2
D( X в ) = D⎜ 1 ⎟ = = = .
Распределение Фишера ( F -распределение). Пусть χ n2 и χ m2 ⎝ n ⎠ n2 n2 n
– независимые случайные величины, имеющие хи-квадрат распределе- Тем самым первое утверждение теоремы доказано.
ния с п и m степенями свободы, соответственно. Распределение случай- Как следует из в), используя случайные величины X в и Dв , мож-
ной величины
но составить случайную величину Tn −1 . Действительно, пронормиро-
χ2 n
Fn , m = 2n (4.11) вав X в , получим
χm m
47 48
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- …
- следующая ›
- последняя »
