Математическая статистика. Воскобойников Ю.Е - 22 стр.

   Заметим, что количество степеней свободы п является единственным                                       2
                                                                                                         −x
параметром хи-квадрат распределения и значения              χ2   неотрицательны,     p( x ) =   1    e    2    , значит,
                                                                                                2π
          2
т.е. P ( χ n < 0) = 0 .                                                                                              ∞                                       2
                                                                                                                                               1 ∞ 4 − x2
                                                                                                M ( N14 )                 4
                                                                                                                  = ∫ x p ( x )dx =                ∫x e   = 3.
                                                                                                                    −∞                         2π − ∞
                                                                                        Последний интеграл вычисляется методом интегрирования по час-
                                                                                                                          2                      2
                                                                                     тям. Далее, так как M ( N1 ) = 1 , то D ( χ n ) = n(3 − 1) = 2n . Таким
                                                                                                 2
                                                                                     образом, χ распределение с п степенями свободы имеет следующие
                                                                                     числовые характеристики:

                                                                                                              M [ χ n2 ] = n; D[ χ n2 ] = 2n       (4.4)
                                                                                        Согласно центральной предельной теореме, если случайные величи-
                                                                                           2    2             2
                                                                                     ны N1 , N 2 ,..., N n независимы, одинаково распределены и имеют ко-

                                                                                     нечные дисперсии, то последовательность                     χ n2 = N12 + ... + N n2   асим-
                                                                                     птотически нормальна. Другими словами, при больших значениях п
                                                                                     распределение случайной величины                 χ n2     близко к нормальному распре-
                                                                                                                                 2
                                                                                     делению с параметром a = n, σ                   = 2n . Однако при малых значениях

           Рис. 4.1. К определению квантилей случайной величины                      п функция плотности случайной величины χ n2 значительно отличается
                                                                                     от кривой Гаусса.
  Определим математическое ожидание величины                 χ2.     По определе-       Для иллюстрации этого факта определим плотность распределения
нию (4.2) имеем
                                                                                     случайной величины              χ 22 = N12 + N 22 .       Вначале вычислим функцию
                  ⎛     n  ⎞        n               n
                                                        [
   M ( χ n2 ) = M ⎜ ∑ N i2 ⎟ = ∑ M ( N i2 ) = ∑ D( N i ) + M 2 ( N i ) ,    ]        распределения случайной величины                 χ 22 .   Пусть х > 0 .
                  ⎝ i =1 ⎠ i =1               i =1
                         2       2                                                                                 F ( x ) = P ( χ 22 < x ) .        (4.5)
так как D( X ) = M ( X ) − M ( X ) . Но D( N i ) = 1, M ( N i ) = 0 ,
                                                                                     По оси абсцисс u будем откладывать значение случайной величины
                    2
а значит, M ( χ n ) = n . Нетрудно вычислить и дисперсию случайной                   N1 , а по оси ординат v – значение случайной величины N 2 . Рассмот-
величины      χ n2 . Так как случайные величины N12 ,..., N n2   независимы, то      рим пару случайных величин N1 , N 2 , совместная плотность распреде-
                                                                                     ления которых вычисляется по формуле
                                          [
           D( χ n2 ) = nD( N12 ) = n M ( N14 ) − M ( N12 ) .     ]           (4.3)
                                                                                                                                  1 − u +2 v
                                                                                                                                                     2   2

Плотность         распределения         случайной   величины         N1     равна                                   p ( u, v ) =    e        ,
                                                                                                                                 2π
                                                                                     так как p( u , v ) = p( u ) ⋅ p( v ) вследствие независимости составляю-
                                              43                                                                                      44