Математическая статистика с примерами в Excel. Воскобойников Ю.Е - 25 стр.

       Заметим, что несмещенная эффективная оценка дисперсии      имеет биномиальный закон распределения с характеристиками
D( X ) нормально распределенной величины X = N (a, σ ) имеет      М(т) = пр, D(m) = пр(1 – р). Имеем
вид:                                                                                   ⎛m⎞ 1        1
                                     n
                                                                                     M ⎜ ⎟ = M (m) = np = p ( A) .
                                  1                                                    ⎝n⎠ n        n
                         S 02 =     ∑
                                  n i =1
                                         ( X i − a)2 .
                                                                      Следовательно, p * = m / n является несмещенной оценкой
    Однако в эту формулу входит математическое ожидание a ,       вероятности р(А).
которое, как правило, заранее неизвестно.                             Для доказательства эффективности укажем, что минимум сре-
                                                                  ди дисперсий различных несмещенных оценок вероятности р(А)
       3.4. Точечная оценка вероятности события                   равен
    Обозначим через p( A) неизвестную вероятность события A                                            p(1 − p)
                                                                                               Dmin =           .                 (3.19)
в одном испытании. Для оценивания p ( A) проведем n независи-                                             n
мых испытаний, в которых событие A произошло m раз. Тогда             Определим дисперсию оценки p* :
случайная величина
                                                                                      ⎛m⎞ 1            np(1 − p) p(1 − p)
                                         m                              D ( p * ) = D ⎜ ⎟ = 2 D ( m) =            =       .
                                  p* =                   (3.17)                       ⎝n⎠ n               n2        n
                                         n
является частностью (относительной частотой) события A . Свой-        Так как D(p*) совпадает с минимальной дисперсией Dmin , то
ства этой точечной оценки определяет                              частность р*, будучи несмещенной оценкой, является также и эф-
                                                                  фективной.
    Теорема 3.5. Относительная частота p * = m / n появления
                                                                      Теорема доказана.
события A в n испытаниях есть состоятельная, несмещенная и
эффективная оценка вероятности p( A) .                                3.5. Метод максимального правдоподобия
                                                                      В предыдущих пунктах были рассмотрены различные точеч-
     Доказательство. Состоятельность оценки p * вытекает из
                                                                  ные оценки, являющиеся некоторыми функциями от результатов
теоремы Бернулли, согласно которой для любого ε > 0 выполня-      наблюдения. Однако осталось неясным, почему были взяты имен-
ется неравенство                                                  но эти функции. Рассмотрим один из методов, позволяющих их
                              ⎛m            ⎞                     получить. Для понимания его сущности обратимся к следующему
                        lim P ⎜ − P( A) < ε ⎟ = 1 ,      (3.18)   примеру.
                        n →∞
                              ⎝ n           ⎠                         Предположим, что график плотности распределения генераль-
или в других обозначениях:                                        ной совокупности Х имеет вид равнобедренного треугольника
                             m p                                  АВС, длина основания и высота которого зафиксированы, а неиз-
                               ⎯⎯→ p ( A) .
                             n                                    вестным параметром θ является абсцисса точки D – середины от-
     Для доказательства несмещенности этой оценки зафиксируем     резка АВ. Пусть x1 , x 2 , ..., x n – выборка из генеральной совокуп-
число испытаний n . Найдем математическое ожидание частности
                                                                  ности X. Зададимся вопросом: в какую точку оси абсцисс необхо-
m/n, имея в виду, что в условиях испытаний Бернулли величина т    димо поместить точку D, если в результате опыта получена именно
                                                                  выборка x1 , x 2 , ..., x n ? Конечно, никаких ограничений для ее рас-
                                   51                                                              52