Составители:
Рубрика:
47
n
n
XnD
XDXDXD
n
i
i
n
n
i
i
n
в
2
2
1
1
1
1
)(
)()()(
2
σ
====
∑∑
==
. (3.9)
Мы проверили при доказательстве теоремы 3.1, что
()
вг
M
Xx= . Так как дисперсия )(
в
XD равна минимальному зна-
чению, то выборочное среднее
в
X является эффективной несме-
щенной оценкой.
Теорема доказана.
Таким образом, показано, что выборочное среднее
в
X имеет
все три свойства "хорошей" оценки. Этим и объясняется ее широ-
кое использование в качестве оценки математического ожидания
генеральной совокупности.
Напомним, что по конкретной выборке
n
xx ...,,
1
вычисляется
(см. (2.10)–(2.12)) "конкретное" значение
в
x , являющееся одним из
множества возможных значений случайной величины
в
X .
3.3. Точечные оценки дисперсии
Дисперсию )( XD генеральной совокупности
X
будем назы-
вать генеральной дисперсией
г
D , т.е.
)( XDD
г
= . (3.10)
Теорема 3.3. Выборочная дисперсия
в
D является состоятель-
ной, но смещенной оценкой генеральной дисперсии
г
D .
Доказательство. Получим сначала формулу для вычисления
в
D . Согласно определению
2
1
()
n
в
i
i
в
XX
D
n
=
−
=
∑
.
С другой стороны,
48
22 2
11
222 22
11
()(2 )
2.
nn
i в i в i в
ii
nn
i вв i в
ii
XX X XXX
XnXnX XnX
==
==
−
=−+=
=−+=−
∑∑
∑∑
Тогда из определения дисперсии следует
2
1
2
1
22
в
n
i
i
n
i
вi
в
X
n
X
n
XnX
D −
∑
=
∑
−
=
==
.
Воспользовавшись теперь следствием из теоремы Чебышева
для одинаково распределенных случайных величин
2
i
X и свойст-
вами предела по вероятности, получаем
)(
);()(
22
1
2
XMX
XMXM
n
X
p
в
i
p
n
i
i
⎯→⎯
=⎯→⎯
∑
=
и, значит,
г
p
в
DXDXMXMD ==−⎯→⎯ )()()(
22
.
Следовательно, выборочная дисперсия
в
D является состоя-
тельной оценкой для генеральной дисперсии. Вычислим математи-
ческое ожидание
в
D и убедимся, что
гв
DDM
≠
)( . Имеем
22
22
11
() ( )
nn
ii
ii
вв в
XX
MD M X M MX
nn
==
⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
=
−= − =
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
∑∑
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
−
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
∑
=
2
11
2
n
X...X
M
n
X
M
n
n
i
i
22 2
12
2
2
...
()
nij
ij
XX X XX
MX M
n
≠
⎛⎞
++++
⎜⎟
=−
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∑
,
n n nD( X ) σ2 n n
D ( X в ) = D( n1 ∑ X i ) = 1
∑
n 2 i =1
D( X i ) =
n2
=
n
. (3.9) ∑(Xi − Xв )2 = ∑(Xi2 − 2Xв Xi + Xв2 ) =
i =1 i=1 i=1
Мы проверили при доказательстве теоремы 3.1, что n n
M ( X в ) = xг . Так как дисперсия D( X в ) равна минимальному зна- = ∑Xi2 − 2nXв2 + nXв2 =∑Xi2 − nXв2.
i=1 i=1
чению, то выборочное среднее X в является эффективной несме- Тогда из определения дисперсии следует
n n
2 2 2
щенной оценкой. ∑ X i − nX в ∑ Xi
Теорема доказана. i =1 i =1
Dв = = − X в2 .
Таким образом, показано, что выборочное среднее X в имеет n n
Воспользовавшись теперь следствием из теоремы Чебышева
все три свойства "хорошей" оценки. Этим и объясняется ее широ-
кое использование в качестве оценки математического ожидания для одинаково распределенных случайных величин X i2 и свойст-
генеральной совокупности. вами предела по вероятности, получаем
Напомним, что по конкретной выборке x1 , ..., xn вычисляется n
2
∑ Xi
(см. (2.10)–(2.12)) "конкретное" значение xв , являющееся одним из i =1 p
⎯⎯→ M ( X i2 ) = M ( X 2 );
множества возможных значений случайной величины X в . n
p
X в ⎯⎯→ M ( X )
3.3. Точечные оценки дисперсии и, значит,
p
Дисперсию D( X ) генеральной совокупности X будем назы- Dв ⎯⎯→ M ( X 2 ) − M 2 ( X ) = D ( X ) = Dг .
вать генеральной дисперсией Dг , т.е. Следовательно, выборочная дисперсия Dв является состоя-
Dг = D ( X ) . (3.10) тельной оценкой для генеральной дисперсии. Вычислим математи-
ческое ожидание Dв и убедимся, что M ( Dв ) ≠ Dг . Имеем
Теорема 3.3. Выборочная дисперсия Dв является состоятель-
⎛ n ⎞ ⎛ n 2 ⎞
ной, но смещенной оценкой генеральной дисперсии Dг . ⎜ ∑ Xi ⎜ ∑ Xi ⎟
2
⎟
Доказательство. Получим сначала формулу для вычисления M ( D в ) = M ⎜ i =1 − X в2 ⎟ = M ⎜ i =1 ⎟ − M ( X в2 ) =
⎜ n ⎟ ⎜ n ⎟
Dв . Согласно определению ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
n
∑(X i − X в )2 ⎛ n 2⎞
⎜ ∑ Xi ⎟
⎛ X 1 + ... + X n ⎞
2
Dв = i =1
. =M ⎜ i =1 ⎟ −M⎜ ⎟ =
n ⎜ n ⎟ ⎝ n ⎠
С другой стороны, ⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ X 12 + X 22 + ... + X n2 + ∑ X i X j ⎞
⎜ i≠ j ⎟,
= M (X 2) − M ⎜ 2 ⎟
⎜ n ⎟
⎝ ⎠
47 48
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- …
- следующая ›
- последняя »
