Составители:
Рубрика:
49
где
∑
≠ ji
ji
XX
означает сумму произведений величин
i
X и
j
X для
всех значений
i и
j
от 1 до
n
, но не равных между собой. Так как
i
X и
j
X независимы при
j
i ≠ , то
)()()(
jiji
XMXMXXM = .
Поэтому, продолжая вычисления
()
в
M
D , получаем
22
1
2
2
( ) ... ( ) ( ) ( )
() ( )
nij
ij
в
MX MX MX MX
MD MX
n
≠
++ +
=− =
∑
22
2
2
() (1) ()
()
nM X n n M X
MX
n
+−
=
−=
22
11
() () .
г
nn
M
XMX D
nn
−−
⎡⎤
=−=
⎣⎦
Множитель
)1(
−
nn объясняется тем, что по правилу произведе-
ния количество различных пар (
), ji при nji
≤
≠
≤
1 равно
)1( −nn . Итак, мы получили, что
гв
D
n
n
DM
1
)(
−
= , 3.11)
следовательно, D
в
– смещенная оценка для генеральной дисперсии.
Теорема доказана.
Полученная формула (3.11) для вычисления математического
ожидания выборочной дисперсии позволяет указать состоятельную
и несмещенную оценку для генеральной дисперсии. Для этого рас-
смотрим случайную величину
в
D
n
n
S
1
2
−
=
, (3.12)
называемую исправленной дисперсией. Понятно, что
г
p
DS ⎯→⎯
2
,
так как
1
1
→
−n
n
при ∞→n . С другой стороны,
ггвв
DD
n
n
n
n
)D(M
n
n
D
n
n
M)S(M =
−
⋅
−
=
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
1
111
2
.
Тем самым доказана
50
Теорема 3.4. Исправленная дисперсия
2
S является состоя-
тельной и несмещенной оценкой для генеральной дисперсии
г
D .
Заметим, что для выборок большого объема множитель
1−n
n
близок к 1, поэтому случайные величины
2
S и
в
D мало отлича-
ются друг от друга. Однако для выборок малого объема это отли-
чие может быть существенным.
Возникает вопрос: будет ли несмещенная оценка
2
S эффек-
тивной?
Предположим, что случайная величина
X
подчиняется нор-
мальному распределению
(, )Na
σ
, а величины
n
XXX ,...,,
21
, как
обычно, –
n независимых экземпляров независимой величины Х.
Тогда минимальная дисперсия несмещенной оценки для дисперсий
равна
n
D
4
min
2
σ
=
. (3.13)
В п. 4.1 будет показано, что величина
2
S представима в виде
2
1
2
2
1
−
−
=
n
n
S
χ
σ
, (3.14)
где
2
1−n
χ
– случайная величина, имеющая
χ
2
-распределение с
1−n
степенями свободы. Поэтому
44
22
1
2
2
() ( )
(1) 1
n
DS D
nn
σ
σ
χ
−
==
−
−
, (3.15)
из этого следует
min
2
1
)( D
n
n
SD
−
=
. (3.16)
Следовательно,
2
S , будучи несмещенной оценкой дисперсии
)( XD
, не является эффективной оценкой. Однако при достаточно
больших
n увеличение
)(
2
SD
по сравнению с
mi
n
D
пренебре-
жимо мало.
где ∑X X
i≠ j
i j означает сумму произведений величин X i и X j для Теорема 3.4. Исправленная дисперсия S 2 является состоя-
тельной и несмещенной оценкой для генеральной дисперсии Dг .
всех значений i и j от 1 до n , но не равных между собой. Так как
X i и X j независимы при i ≠ j , то n
Заметим, что для выборок большого объема множитель
M ( X i X j ) = M ( X i )M ( X j ) . n −1
близок к 1, поэтому случайные величины S 2 и Dв мало отлича-
Поэтому, продолжая вычисления M ( Dв ) , получаем
ются друг от друга. Однако для выборок малого объема это отли-
M ( X 12 ) + ... + M ( X n2 ) + ∑ M ( X i ) M ( X j )
i≠ j
чие может быть существенным.
M ( Dв ) = M ( X ) −
2
=
n 2
Возникает вопрос: будет ли несмещенная оценка S 2 эффек-
nM ( X 2 ) + n( n − 1) M 2 ( X ) тивной?
= M (X 2) − = Предположим, что случайная величина X подчиняется нор-
n2
n −1 n −1 мальному распределению N (a, σ ) , а величины X 1 , X 2 ,..., X n , как
= ⎡⎣ M ( X 2 ) − M 2 ( X ) ⎤⎦ = Dг .
n n обычно, – n независимых экземпляров независимой величины Х.
Множитель n( n − 1) объясняется тем, что по правилу произведе- Тогда минимальная дисперсия несмещенной оценки для дисперсий
ния количество различных пар ( i, j ) при 1 ≤ i ≠ j ≤ n равно равна
n( n − 1) . Итак, мы получили, что 2σ 4
Dmin = . (3.13)
n −1 n
M ( Dв ) = Dг , 3.11)
n В п. 4.1 будет показано, что величина S 2 представима в виде
следовательно, Dв – смещенная оценка для генеральной дисперсии.
σ2
Теорема доказана. S2 = χ n2−1 , (3.14)
Полученная формула (3.11) для вычисления математического n −1
ожидания выборочной дисперсии позволяет указать состоятельную где χ n2−1 – случайная величина, имеющая χ -распределение с
2
и несмещенную оценку для генеральной дисперсии. Для этого рас-
смотрим случайную величину n − 1 степенями свободы. Поэтому
n σ4 2σ 4
2
S = Dв , (3.12) D( S 2 ) = D( χ n2−1 ) = , (3.15)
n −1 (n − 1) 2 n −1
называемую исправленной дисперсией. Понятно, что из этого следует
2 p
S ⎯⎯→ Dг , n
D( S 2 ) = Dmin . (3.16)
n n −1
так как → 1 при n → ∞ . С другой стороны,
n −1 Следовательно, S 2 , будучи несмещенной оценкой дисперсии
⎛ n ⎞ n n n −1 D( X ) , не является эффективной оценкой. Однако при достаточно
M( S 2 ) = M⎜ Dв ⎟ = M ( Dв ) = ⋅ Dг = Dг .
⎝ n −1 ⎠ n −1 n −1 n больших n увеличение D ( S 2 ) по сравнению с Dmin пренебре-
Тем самым доказана
жимо мало.
49 50
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- …
- следующая ›
- последняя »
