Математическая статистика с примерами в Excel. Воскобойников Ю.Е - 26 стр.

положения на оси х нет. Но если мы сдвинем треугольник далеко                                                                     m
влево или вправо от элементов выборки, то вероятность получения                                                                   ∑nj = n .
                                                                                                                                j =1
выборки, попавшей в промежуток [ L, M ] , которому принадлежит
точка D, будет равна нулю, так как                                                    Учитывая независимость случайных величин X 1 , ..., X n , ве-
                                                                                  роятность получения выборки x1 , x 2 , ..., x n можно представить как
             P ( X ∈ [ L, M ]) =     ∫       p( x)dx =     ∫       0 ⋅ dx = 0 .
                                   [ L,M ]               [ L,M ]                            P ( X 1 = x1 ; ...; X n = xn ) = P( X 1 = x1 ) K P( X n = xn ) .
    Поэтому точка D должна лежать в "гуще" выборки, т.е. таким                         Эта вероятность есть функция от x1 , x 2 , ..., x n , которая назы-
образом, чтобы значения ординат p ( xi ,θ ) были в совокупности                   вается функцией максимального правдоподобия и обозначается
как можно больше. Тогда становится правдоподобным получение                       L(x1, x2 ,K, xn ,θ) = P( X1 = x1) K P(Xn = xn ) .
именно выборки x1 , x 2 , ..., x n . Данный метод называется методом                  Учитывая, что значение yi встречается в выборке nj раз, по-
максимального правдоподобия. Итак, параметр θ , согласно этому                    лучаем
методу, нужно выбирать так, чтобы вероятность получения набора
значений x1 , x 2 , ..., x n случайной величины Х при этом значении                                      L( x1 ,..., xn ,θ ) = p1n1 (θ ) ... pmnm (θ ) .
θ была наибольшей. Конечно, о вероятности получения данного                           Как уже было сказано, суть метода максимального правдопо-
набора значений мы строго можем говорить лишь в том случае, ко-                   добия состоит в том, что в качестве параметра θ берется такое
гда рассматриваемая генеральная совокупность распределена дис-                    значение, которое максимизирует функцию L( x1 ,..., xn , θ ) . Полу-
кретно. Напомним, что для непрерывных случайных величин лю-
бые конкретные значения появляются с нулевой вероятностью.                        ченное значение, если оно существует, является функцией
                                                                                                                      *
Поэтому метод максимального правдоподобия имеет некоторые                         от x1 , x 2 , ..., x n , т.е. θ = θ МП ( x1 , x 2 , ..., x n ) . Заменяя элементы
различия в случае дискретных и непрерывных генеральных сово-                      x1 , x2 ,..., xn случайными величинами X 1 ,..., X n , получаем оценку
купностей.
                                                                                  максимального правдоподобия θ МП
                                                                                                                *
                                                                                                                   ( X 1 , X 2 ,..., X n ) .
    Дискретная генеральная совокупность. Пусть Х – дискрет-
ная генеральная совокупность, распределение которой зависит от                        Точка максимума функции L( x1 ,..., xn , θ ) удовлетворяет не-
некоторого параметра θ , т.е.                                                     линейному (в общем случае) уравнению
                         P ( X = y i ) = p j (θ ) ,                                                              ∂L( x1 ,..., x n ,θ )
                                                                                                                                       = 0,                    (3.20)
где j = 1,..., m; y1,…, ym – все различные значения, которые может                                                      ∂θ
принимать случайная величина X, а вероятности, с которыми эти                                                                       *
                                                                                  и поэтому конкретное значение оценки θ МП               ( x1 , x 2 , ..., x n ) опре-
значения появляются, зависят от параметра θ . Предположим, что
 x1 , x 2 , ..., x n – выборка из генеральной совокупности X, причем              деляют как корень уравнения (3.20).
                                                                                      Функции L( x1 ,..., xn , θ ) и ln L( x1 ,..., xn , θ ) достигают макси-
значение yj встречается в выборке nj раз, т.е. nj – частота значения
yj, и поэтому имеет место равенство                                               мума при одном и том же значении θ . Поэтому вместо отыскания
                                                                                  максимума функции L( x1 ,..., xn , θ ) находят максимум функции

                                      53                                                                                     54