Математическая статистика с примерами в Excel. Воскобойников Ю.Е - 28 стр.

относительная частота – является состоятельной и несмещенной                         при λ = λкр , то найденная критическая точка есть точка максиму-
оценкой для параметра p . ☻
                                                                                     ма. Поэтому оценка максимального правдоподобия для параметра
    ♦ Пример 3.2. Найти оценку максимального правдоподобия                           λ является случайной величиной
для параметра λ распределения Пуассона.
    Решение. Напомним, что распределение Пуассона имеет вид                                                                   X 1 + ... + X n
                                                                                                                 λ*МП =                       ,
                                                       λm                                                                            n
                                 P( X = m) =                   e−λ ,
                                                        m!                           т.е. X в . ☻
где m принимает любые целые неотрицательные значения. Пусть                               ♦ Пример 3.3. Найти оценку максимального правдоподобия
 x1 , ..., xn – выборка из генеральной совокупности X . Тогда                        для параметра α показательного распределения
                                                         n
                                                               λx   i                                             ⎧α e −α x , x > 0;
                           L( x1 ,..., xn , λ ) = ∏                     e−λ .                            p( x ) = ⎨                               (3.21)
                                                        i =1   xi !                                               ⎩ 0, x ≤ 0.
Преобразовав произведение, получим                                                        Решение. По выборке x1 , ..., xn , состоящей из положительных
                                                      λ x +...+ x
                                                         1      n                    чисел, находим
                         L( x1 ,..., xn , λ ) =                           e − nλ .                                           n
                                                  x1 !⋅ x2 !⋅ ... ⋅ xn                             L( x1 ,..., xn , α ) = ∏ α e −α xi = α n e−α ( x1 +...+ xn ) .
                                                                                                                            i =1
Поэтому логарифмическая функция максимального правдоподобия
имеет вид:                                                                           Поэтому
                                                                                                           ln L = n ln α − α ( x1 + ... + xn ) .
            ln L = −nλ + ( x1 + ... + xn ) ln λ − ln( x1!... xn ! ) .
                                                                                     Решая уравнение
Находим критическую точку, решая уравнение                                                                                ∂ ln L
                                                                                                                                 = 0,
                                        ∂ ln L                                                                             ∂α
                                               = 0.
                                         ∂λ                                                              n
                                                                                     находим α =                 . Так как условие
Получим                                                                                            x1 + ... + xn
                                         x1 + K + xn                                                               ∂ 2 ln L              n
                                 −n +                          =0.                                                                 =−        <0
                                                  λ                                                                  ∂α 2               α2
               x 1 + ...+ x n                                                        при λ = λкр выполняется, то оценкой максимального правдоподо-
Отсюда λкр =                    . Так как
                     n                                                               бия для параметра α является
                           ∂ 2 ln L    x + K + xn
                                    = − 1         <0                                                                  α МП
                                                                                                                        *
                                                                                                                           = 1 .☻
                             ∂λ  2
                                           λ2                                                                                       Хв



                                           57                                                                                58