Составители:
Рубрика:
59
♦ Пример 3.4. Найти оценки максимального правдоподобия
для параметров а и
σ
нормально распределенной генеральной со-
вокупности.
Решение. Учитывая, что плотность распределения в данном
случае
2
2
()
2
1
(,, )
2
x
a
pxа e
σ
σ
πσ
−
−
= ,
получим по выборке
n
xx ...,,
1
()
2
2
2
2
1
()
()
2
2
1
1
11
( , ..., , , ) .
2
2
n
i
i
i
xa
xa
n
n
n
n
i
Lx x a e e
σ
σ
σ
πσ
πσ
=
−
−
−
−
=
∑
==
∏
Отсюда
2
2
2
1
()
ln ln 2 ln .
2
n
i
n
i
x
a
Ln
πσ
σ
=
−
=− − −
∑
Находим критические точки этой функции, решая систему уравне-
ний
ln ln
0; 0
LL
a
σ
∂
∂
==
∂∂
.
Вычисляя частные производные, получим
2
1
()
ln
0
n
i
i
xa
L
a
σ
=
−
∂
==
∑
∂
,
0)(
1ln
1
2
3
=
∑
−+−=
∂
∂
=
n
i
i
ax
nL
σ
σσ
.
Отсюда
1 n
кр
x
x
а
n
++
=
K
; (3.22)
n
ax
σ
n
i
крi
кр
∑
=
−
=
1
2
2
)(
. (3.23)
Проверим, что при найденных значениях
кр
a
и
кр
σ
функ-
ция
Lln принимает максимальное значение. Для этого нужно про-
верить выполнение неравенств
60
0
ln
2
2
<
∂
∂
a
L
,
22
2
22
2
ln ln
0.
ln ln
LL
a
a
LL
a
a
σ
σ
∂∂
∂∂
∂
>
∂∂
∂∂
∂
Вычислим вторые производные:
0
ln
22
2
<−=
∂
∂
σ
n
a
L
;
∑
=
−
−=
∂∂
∂
=
∂∂
∂
n
i
i
ax
a
L
a
L
1
3
22
2
lnln
σ
σσ
;
∑
=
−−=
∂
=
∂
∂
n
i
i
ax
nnL
1
2
4222
2
)(
3ln
σσσσ
. (3.24)
Подставляя значения для
кр
a и
2
кр
σ
из (3.22) и (3.23), получа-
ем:
;0
2ln
11
3
2
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−=
∂∂
∂
∑∑
==
n
i
n
i
ii
xx
a
L
σσ
,
23ln
2
2
2
в
в
вв
d
n
nd
dd
nL
−=−=
∂
∂
σ
(3.25)
где
в
d – значения выборочной дисперсии.
Вычисляя определитель в критической точке, получим
0
2
0
0
2
2
2
lnln
lnln
2
22
2
2
2
>=
−
−
=
∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
в
d
n
d
n
L
a
L
a
L
a
L
d
n
в
в
σ
σ
σ
.
Поэтому при значениях
кр
a
и
2
кр
σ
, определенных по формулам
(3.22) и (3.23), функция
Lln принимает максимальное значение.
Следовательно, оценками максимального правдоподобия будут
в
*
МПв
*
МП
D;Xa ==
σ
. ☻
♦ Пример 3.4. Найти оценки максимального правдоподобия ∂ 2 ln L ∂ 2 ln L
для параметров а и σ нормально распределенной генеральной со- 2
∂ ln L ∂a 2 ∂a∂σ
вокупности. < 0 , > 0.
Решение. Учитывая, что плотность распределения в данном
∂a 2 ∂ 2 ln L ∂ 2 ln L
∂a∂σ ∂a 2
случае
( x − a )2
Вычислим вторые производные:
1 −
p ( x, а , σ ) = e 2σ 2
, ∂ 2 ln L n
2πσ 2
=−< 0;
∂a σ2
получим по выборке x1 , ..., xn
∂ 2 ln L ∂ 2 ln L n x −a
n ( xi − a ) 2 − ∑
n
( xi − a ) 2 = = −2 ∑ i 3 ;
1 − 1 ∂a∂σ ∂σ∂a i =1 σ
L( x1 , ..., xn , a,σ ) = ∏ = 2σ 2
2
2σ
e e i =1
.
2πσ ( )σ
n
i =1 2π n
∂ ln L
2
n n 3 n
4 ∑
= = − ( xi − a ) 2 . (3.24)
Отсюда ∂σ 2
∂σ 2
σ σ i =1
2
( xi − a ) 2 n
Подставляя значения для a кр и σ кр2
из (3.22) и (3.23), получа-
ln L = − n2 ln 2π − n ln σ − ∑ .
i =1 2σ 2 ем:
Находим критические точки этой функции, решая систему уравне-
∂ 2 ln L 2 ⎛ n n
⎞
ний = − 3 ⎜ ∑ xi − ∑ xi ⎟ = 0;
∂ ln L ∂ ln L ∂σ∂a σ ⎝ i =1 i =1 ⎠
= 0; =0.
∂a ∂σ ∂ ln L n
2
3 2n
Вычисляя частные производные, получим 2 = − 2 nd в = − , (3.25)
∂ ln L n ( xi − a )
∂σ dв dв dв
=∑ = 0,
∂a i =1 σ2
где d в – значения выборочной дисперсии.
∂ ln L n 1 n
= − + 3 ∑ ( xi − a ) 2 = 0 . Вычисляя определитель в критической точке, получим
∂σ σ σ i =1
∂ 2 ln L ∂ 2 ln L n
Отсюда ∂a∂σ − 0 2n 2
∂a 2 =
dв
= > 0.
x1 + K + xn ∂ 2 ln L ∂ 2 ln L 2n
акр = ; (3.22) 0 − dв d в2
n ∂a∂σ ∂σ 2
n
2
Поэтому при значениях a кр и σ кр
∑ (x − a
i кр )2 , определенных по формулам
2
σ кр = i =1
. (3.23) (3.22) и (3.23), функция ln L принимает максимальное значение.
n Следовательно, оценками максимального правдоподобия будут
Проверим, что при найденных значениях a кр и σ кр функ- a*МП = X в ; σ *МП = Dв . ☻
ция ln L принимает максимальное значение. Для этого нужно про-
верить выполнение неравенств
59 60
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 27
- 28
- 29
- 30
- 31
- …
- следующая ›
- последняя »
