Составители:
Рубрика:
45
∑
=
=
n
i
ii
clD
1
22*
)(
σ
.
Числа
1
,...,
n
cc должны удовлетворять условию (3.7) и обеспе-
чивать минимум функции
22
1
1
( ,..., )
n
nii
i
Fc c c
σ
=
=
∑
.
Мы получим задачу на условный экстремум, которую можно
решить с помощью функции Лагранжа:
11
1
( ,..., ) ( ,..., ) ( 1)
n
nni
i
Lc c Fc c c
λ
=
=−−
∑
.
Найдем критические точки функции Лагранжа:
2
2 0, 1,...,
ii
i
L
cin
c
σλ
∂
=−==
∂
;
∑
=
=−
n
i
i
c
1
01
.
Отсюда находим значение
2
2
1
1
1
, 1,..., .
i
i
i
n
i
cin
σ
σ
=
==
∑
(3.8)
Полученный результат имеет простой физический смысл: чем
меньше точность данного прибора, тем с меньшим значением ко-
эффициента его результат должен входить в оценку.
Заметим, что если все приборы имеют одинаковую точность,
т.е.
21
1 n
...
σσ
== , то nc
i
/1= и в качестве оценки получим
в
Xl =
*
.
3.2. Точечная оценка математического ожидания
Математическое ожидание )( XM генеральной совокупности
X
назовем генеральной средней
г
x , т.е.
46
)( XMx
г
=
.
Теорема 3.1. Выборочное среднее
в
X есть состоятельная и
несмещенная оценка генеральной средней
г
x
.
Доказательство. Вначале покажем, что
в
X есть состоятель-
ная оценка для
г
x , т.е.
12
...
p
n
г
XX X
x
n
+
++
⎯⎯→
.
По следствию из теоремы Чебышева для одинаково распреде-
ленных случайных величин имеем
12
...
()
p
n
XX X
M
X
n
+
++
⎯⎯→
.
Так как
г
xXМ
=
)( , то, используя свойства математического
ожидания, получим
11
... ( ) ... ( )
()
()
.
nn
в
г
XXMX MX
MX M
nn
nM X
x
n
++ ++
⎛⎞
=
==
⎜⎟
⎝⎠
==
Теорема доказана.
Теорема 3.2.
Пусть случайная величина
X
имеет нормальное
распределение
(, )Na
σ
, где a – математическое ожидание,
2
σ
–
дисперсия случайной величины
X
. Тогда выборочное среднее
в
X
является эффективной несмещенной оценкой для
г
x .
Доказательство. Необходимо показать, что дисперсия
)(
в
XD совпадает с минимальной дисперсией, равной в случае
нормального распределения
n/
2
σ
, а ее математическое ожидание
()
в
M
X
равно
г
x .
Найдем дисперсию
)(
в
XD :
n xг = M ( X ) .
D(l * ) = ∑ ci2σ i2 .
i =1
Теорема 3.1. Выборочное среднее X в есть состоятельная и
Числа c1 ,..., cn должны удовлетворять условию (3.7) и обеспе-
несмещенная оценка генеральной средней x г .
чивать минимум функции
n Доказательство. Вначале покажем, что X в есть состоятель-
F (c1 ,..., cn ) = ∑ ci2σ i2 .
i =1 ная оценка для x г , т.е.
Мы получим задачу на условный экстремум, которую можно
X 1 + X 2 + ... + X n p
решить с помощью функции Лагранжа: ⎯⎯ → xг .
n n
L(c1 ,..., cn ) = F (c1 ,..., cn ) − λ (∑ ci − 1) .
i =1
По следствию из теоремы Чебышева для одинаково распреде-
Найдем критические точки функции Лагранжа: ленных случайных величин имеем
X 1 + X 2 + ... + X n p
∂L ⎯⎯ → M (X ) .
= 2ciσ i2 − λ = 0, i = 1,..., n ; n
∂ci Так как М ( X ) = x г , то, используя свойства математического
n ожидания, получим
∑ ci − 1 = 0 . ⎛ X + ... + X n ⎞ M ( X 1 ) + ... + M ( X n )
i =1 M (Xв ) = M ⎜ 1 ⎟= =
Отсюда находим значение ⎝ n ⎠ n
nM ( X )
1
σ i2 = = xг .
ci = n
, i = 1,..., n. (3.8) n
∑σ
i =1
1
2
i
Теорема доказана.
Теорема 3.2. Пусть случайная величина X имеет нормальное
Полученный результат имеет простой физический смысл: чем
меньше точность данного прибора, тем с меньшим значением ко- распределение N (a, σ ) , где a – математическое ожидание, σ 2 –
эффициента его результат должен входить в оценку. дисперсия случайной величины X . Тогда выборочное среднее X в
Заметим, что если все приборы имеют одинаковую точность,
является эффективной несмещенной оценкой для x г .
т.е. σ 11 = ... = σ n2 , то ci = 1 / n и в качестве оценки получим
Доказательство. Необходимо показать, что дисперсия
l* = X в . D ( X в ) совпадает с минимальной дисперсией, равной в случае
3.2. Точечная оценка математического ожидания нормального распределения σ 2 / n , а ее математическое ожидание
Математическое ожидание M ( X ) генеральной совокупности M ( X в ) равно x г .
X назовем генеральной средней x г , т.е. Найдем дисперсию D ( X в ) :
45 46
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- …
- следующая ›
- последняя »
