Математическая статистика с примерами в Excel. Воскобойников Ю.Е - 20 стр.

   Оценка θ n* параметра θ называется несмещенной, если для                         θ n*(1) = ϕ1 ( x1,..., xn ); θ n*(2) = ϕ 2 ( x1,..., xn )       (3.3)
любого фиксированного объема выборки n математическое ожи-
дание оценки равно оцениваемому параметру, т.е.                        одного и того же параметра θ . Как из двух этих оценок выбрать
                                                                       лучшую? Каждая из них является случайной величиной, и мы не
                           M (θ n* ) = θ .                     (3.1)   можем предсказать индивидуальное значение оценки в каждом ча-
                                                                       стном случае. Однако, рассматривая в качестве меры концентра-
   Поясним смысл этого равенства следующим примером. Имеют-
                                                                       ции распределения оценки θ n* около значения параметра θ вели-
ся два алгоритма вычисления оценок для параметра θ . Значения
оценок, построенных первым алгоритмом по различным выборкам            чину M (θ n* − θ ) 2 , мы можем теперь точно охарактеризовать срав-
объема n генеральной совокупности, приведены на рис. 3.1,а, а с
использованием второго алгоритма – на рис. 3.1,б. Видим, что           нительную эффективность оценок θ n*(1) и θ n*( 2 ) . В качестве меры
среднее значение оценок на рис. 3.1,а совпадает с θ , и, естествен-    эффективности принимается отношение
но, такие оценки предпочтительнее по сравнению с оценками на                                         M (θ n*(1) − θ ) 2
рис. 3.1,б, которые концентрируются слева от значения θ и для                                   e=                            .                     (3.4)
                                                                                                     M (θ n*( 2 ) − θ ) 2
которых M (θ n* ) < θ , т.е. эти оценки являются смещенными.
                                                                       Если e > 1 , то оценка θ n*( 2 ) более эффективна, чем θ n*(1) . В случае
   Оценка θ n* называется состоятельной, если
                                                                       несмещенных оценок M (θ n*(1) ) = θ , M (θ *(2) ) = θ , и поэтому
                                     p
                               θ n* ⎯⎯→ θ,
                                                                                                          D (θ n*(1) )
                                                                                                    e=                    ,                         (3.5)
т.е. для любого ε > 0 при n → ∞                                                                          D (θ n*( 2 ) )

                           (
                         P θ n* − θ < ε → 1 .)                 (3.2)   где D (θ n* ) – дисперсия оценки θ n* .

   Поясним смысл этого предельного соотношения. Пусть ε –                a
очень малое положительное число. Тогда (3.2) означает, что чем
больше число наблюдений n , тем больше уверенность (вероят-
                                                                                                                                                θ   *
                                                                                                                                                    n
ность) в незначительном отклонении θ n* от неизвестного парамет-
ра θ . Очевидно, что "хорошая" оценка должна быть состоятель-
                                                                         б                             θ
ной, иначе она не имеет практического смысла, так как увеличение
объема исходной информации не будет приближать нас к "истин-                                                                                    θ   *
                                                                                                                                                    n
ному" значению θ .                                                                                                  θ
   Предположим, что имеются две состоятельные и несмещенные
оценки                                                                               Рис. 3.1. К определению несмещенной оценки

                                  41                                                                           42