Математическая статистика с примерами в Excel. Воскобойников Ю.Е - 21 стр.

 a                                                                                                                σ2
                                                                                                  D( a * ) ≥               ,                    (3.6)
                                                                                                                      n
 б                                                       θ   *
                                                             n       где n – объем выборки, по которой производится оценивание. Если
                         θ                                           в качестве a * принять X в , то дисперсия этой оценки, как будет
                                                         θ   *
                                                             n       показано ниже, равна
                                                                                             σ2
                                                                                                   , т.е. X в – эффективная оценка парамет-
                         θ                                                                    n
                                                                     ра а, так как для нее достигается нижняя грань в неравенстве (3.6).
                                                                        Рассмотрим на примере понятие эффективной в данном классе
          Рис. 3.2. К определению эффективной оценки
                                                                     оценки. Предположим, что один и тот же предмет, истинная вели-
                                                                     чина которого равна l , измеряется n раз различными приборами,
   Таким образом, несмещенная оценка θ n* параметра θ называ-        имеющими различную точность. Пусть X i – результаты i-го изме-
ется несмещенной эффективной, если она среди всех других не-         рения. Тогда
смещенных оценок того же параметра обладает наименьшей дис-
персией.                                                                                    M ( X i ) = l,            D( X i ) = σ 2 ,
   Приведенная на рис. 3.2,а оценка θ n* является более эффектив-
                                                                     если считать, что измерения проводятся без систематических оши-
ной по сравнению с оценкой, значения которой нанесены на
рис. 3.2,б (почему?).                                                бок. Дисперсия σ i2 характеризует точность измерений. Для оценки
   Как же выяснить, является ли несмещенная оценка эффектив-         истинного значения параметра l рассмотрим класс линейных оце-
ной? Очевидно, для этого необходимо сравнить дисперсию этой          нок, т.е. оценок вида
оценки с минимальной дисперсией.
   Для широкого класса оценок неравенство Рао–Крамера указы-                                   l * = c1 X 1 + ... + cn X n ,
вает точную нижнюю границу для дисперсий различных оценок
одного и того же параметра. Если существует оценка, дисперсия        где c1 ,..., cn – некоторые неизвестные константы. Из всех несме-
которой в точности равна этой нижней границе, то она называется      щенных оценок данного класса нужно выбрать ту, которая имеет
эффективной оценкой. Оценка, имеющая наименьшую дисперсию            наименьшую дисперсию.
среди оценок данного класса, называется эффективной в данном            Из несмещенности оценок получим
классе оценок. Поясним понятие эффективной оценки несколькими                                       n                      n              n
примерами.                                                                        M (l * ) = M ( ∑ ci X i ) = ∑ ci M ( X i ) = l ∑ ci .
   Предположим, что генеральная совокупность распределена по                                       i =1                   i =1           i =1
нормальному закону с параметрами a и σ , причем a – математи-          Значит,
                                                                                                           n
ческое ожидание, подлежащее оценке, а σ 2 – известная дисперсия.                                          ∑ ci = 1.                             (3.7)
                                                                 *                                        i =1
Оказывается, что для любой несмещенной регулярной оценки a
имеет место неравенство                                                Пользуясь свойствами дисперсии и независимостью проведен-
                                                                     ных измерений, получим
                               43                                                                                44