Математическая статистика с примерами в Excel. Воскобойников Ю.Е - 47 стр.

                                  S1000 − 100                            Обычно этому требованию удовлетворяют три случая распо-
                             K=                              (5.4)   ложения критической области (в зависимости от вида нулевой и
                                    9.487
распределена по закону, близкому к нормальному N (0,1).              альтернативной гипотез, формы и распределения критерия K):
     Заметим, что если вероятность события A возросла после              • правосторонняя критическая область (рис. 5.1,а), состоящая
строительства химического комбината, то случайная величина K               из интервала ( xпр ,α , +∞) , где точка xпр ,α определяется из ус-
преимущественно будет принимать положительные значения (по-                  ловия
чему?) и это может трактоваться в пользу принятия гипотезы H 1 .                                          P ( K > xпр ,α ) = α                        (5.6)
Видно, что величина (5.4) удовлетворяет требованиям а), б), в) и
может быть принята при проверке гипотезы H 0 : p1 = p0 при аль-              и называется правосторонней критической точкой;
тернативной H1 : p1 > p0 .                                               • левосторонняя критическая область (см. рис. 5.1,б) состоит
     Э т а п 4. В области всевозможных значений критерия K вы-             из интервала ( −∞, x лев ,α ) , где x лев ,α определяется из ус-
деляют подобласть ω, называемую критической областью. Значе-                 ловия
ния критерия, попавшие в критическую область, свидетельствуют
о существенном расхождении выборки с гипотезой Н0. Поэтому                                                P ( K < xлев ,α ) = α                       (5.7)
руководствуются следующим правилом: если вычисленное по вы-
борке значение критерия попадает в критическую область ω, то                 и называется левосторонней критической точкой;
гипотеза Н0 отвергается и принимается альтернативная Н1. При             • двусторонняя критическая область (см. рис. 5.1,в), состоя-
этом следует помнить, что такое решение может быть ошибочным               щая из двух интервалов: ( −∞, x лев ,α / 2 ), ( xпр ,α / 2 ,+∞ ) , где
– на самом деле гипотеза Н0 может быть справедливой. Таким обра-
зом, ориентируясь на критическую область, можно совершить                    точки x лев ,α / 2 , xпр ,α / 2 определяются из условий
ошибку первого рода, вероятность которой задана заранее и равна α.                   P ( K < xлев ,α / 2 ) = α / 2 ; P ( K > xпр ,α / 2 ) = α / 2 .   (5.8)
Отсюда вытекает следующее требование к критической области ω:
     Вероятность принятия критерием K значения из критиче-                Вернемся к нашему примеру. Так как альтернативная гипоте-
ской области ω при справедливости гипотезы Н0 должна быть            за имеет вид H1 : p1 > p0 , то принимается правосторонняя крити-
равна α, т.е.                                                        ческая область (см. рис. 5.1,а). Задаваясь α = 0.005, определяем
                              P(K ∈ ω ) = α .                (5.5)    xпр,α из уравнения (5.6).
Однако критическая область определяется равенством (5.5) неод-           При справедливости гипотезы Н0 критерий K, определяемый
нозначно. Пусть pK(x) является плотностью распределения крите-       выражением (5.4), имеет нормальное распределение N(0,1), и, сле-
рия K. Тогда нетрудно увидеть, что на оси X существует бесчис-       довательно, по таблице функции Лапласа Φ ( x) (по табл. П1) необ-
ленное множество интервалов таких, что площади построенных на
                                                                     ходимо найти такое xпр ,α , что Φ ( xпр ,α ) = 0.495 . Это значение рав-
них криволинейных трапеций, ограниченных сверху кривой pK(x),
равны α. Поэтому кроме требования (5.5) выдвигается следующее:       но 2.58. Тогда вероятность того, что критерий K при справедливо-
критическая область ω должна быть расположена так, чтобы при         сти гипотезы Н0 примет значение больше 2.58, равна
заданной вероятности α – ошибки первого рода вероятность β –              P ( K > 2.58) = P (2.58 < N (0.1) < ∞) = Φ (∞ ) − Φ (2.58) = 0.005 .
ошибки второго рода (см. (5.1)) была минимальной.

                                95                                                                            96