Математическая статистика с примерами в Excel. Воскобойников Ю.Е - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

97
а
б
в
P
N(0,1)
(x)
P
N(0,1)
(x)
P
N(0,1)
(x)
Рис. 5.1. Три вида критических областей при проверке
статистических гипотез
98
Выбор критической области из условия минимума вероятно-
сти ошибки второго рода эквивалентен выбору критической об-
ласти из условия максимума величины
β
−
=
1m ,
называемой мощностью критерия K и равной вероятности
11
(/)PH H принятия гипотезы Н
1
при справедливости гипотезы Н
1
.
Поясним понятие мощности критерия следующим примером.
Предположим, что если верна гипотеза Н
0
, то критерий K рас-
пределен по нормальному закону N(5,3) (т.е. математическое
ожидание 5
=
a , дисперсия
2
9
σ
=
), а если верна конкурирующая
гипотеза Н
1
, то критерий распределен по закону N(15,3). Требуется
вычислить мощность критерия
1
m , когда в качестве критической
рассматривается область больших значений, и мощность m
2
, когда
в качестве критической рассматривается область больших по мо-
дулю значений. Уровень значимости
α
возьмем 0.05. В первом
случае границу правосторонней критической области найдем из
условия
,
( (5, 3) ) 0.05
пр
PN x
α
>=, поэтому
()( )
,
,,
5
1
(5,3) (5,3) 0.05.
23
пр
пр пр
x
PN x Px N
α
αα
Φ
−
⎛⎞
>= < <∞=− =
⎜⎟
⎝⎠
Значит,
,
5
0.45
3
пр
x
α
Φ
−
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
. По таблицам значений функции ()
x
Φ
находим, что
64.1
3
5
,
=
−
α
пр
x
. Поэтому границы правосторонней
критической области
92.9
,
=
α
пр
x . Чтобы вычислить ошибку вто-
рого рода
β
1
, нужно найти вероятность попадания критерия в об-
ласть допустимых значений (–∞, 9.92) при условии, что гипотеза
Н
0
неверна. В этом случае считается справедливой гипотеза Н
1
, а
критерий будет распределен по закону N(15,3). Значит,
(
)
1
9.92 15
( (15,3) 9.92) 0.5 0.5 (1.69)
3
0.5 0.4545 0.0455
PN
βΦΦ
−
=
<=+ =− =
=− =
и мощность критерия m
1
= 1 –
β
1
= 0.955. 
а                                                          Выбор критической области из условия минимума вероятно-
                               PN(0,1) (x)
                                                       сти ошибки второго рода эквивалентен выбору критической об-
                                                       ласти из условия максимума величины
                                                                                              m = 1− β ,
                                                       называемой мощностью критерия K и равной вероятности
                                                       P( H1 / H1 ) принятия гипотезы Н1 при справедливости гипотезы Н1.
                                                       Поясним понятие мощности критерия следующим примером.
                                                           Предположим, что если верна гипотеза Н0, то критерий K рас-
                                                       пределен по нормальному закону N(5,3) (т.е. математическое
б                                                      ожидание a = 5 , дисперсия σ 2 = 9 ), а если верна конкурирующая
                                                       гипотеза Н1, то критерий распределен по закону N(15,3). Требуется
                               PN(0,1) (x)
                                                       вычислить мощность критерия m1 , когда в качестве критической
                                                       рассматривается область больших значений, и мощность m2, когда
                                                       в качестве критической рассматривается область больших по мо-
                                                       дулю значений. Уровень значимости α возьмем 0.05. В первом
                                                       случае границу правосторонней критической области найдем из
                                                       условия P ( N (5,3) > xпр ,α ) = 0.05 , поэтому
                                                                                                                 1    ⎛ xпр ,α − 5 ⎞
                                                         P ( N (5,3) > xпр ,α ) = P ( xпр ,α < N (5,3) < ∞ ) =     −Φ ⎜            ⎟ = 0.05.
                                                                                                                 2    ⎝      3     ⎠
в                                                                ⎛ xпр ,α − 5 ⎞
                                                       Значит, Φ ⎜            ⎟ = 0.45 . По таблицам значений функции Φ ( x)
                                                                 ⎝      3     ⎠
                               PN(0,1) (x)
                                                                         xпр,α − 5
                                                       находим, что                   = 1.64 . Поэтому границы правосторонней
                                                                              3
                                                       критической области xпр ,α = 9.92 . Чтобы вычислить ошибку вто-
                                                       рого рода β1, нужно найти вероятность попадания критерия в об-
                                                       ласть допустимых значений (–∞, 9.92) при условии, что гипотеза
                                                       Н0 неверна. В этом случае считается справедливой гипотеза Н1, а
                                                       критерий будет распределен по закону N(15,3). Значит,

                                                                                                      (             )
                                                          β1 = P( N (15,3) < 9.92) = 0.5 + Φ 9.92 − 15 = 0.5 − Φ (1.69) =
                                                                                               3
Рис. 5.1. Три вида критических областей при проверке                       = 0.5 − 0.4545 = 0.0455
                статистических гипотез                 и мощность критерия m1 = 1 – β1 = 0.955.
                         97                                                                      98

Страницы