Математическая статистика с примерами в Excel. Воскобойников Ю.Е - 49 стр.

    Во втором случае правая граница критической области                            Правосторонняя критическая точка ранее была определена как
xпр,α / 2 вычисляется из условия P ( N (5,3) > xпр ,α ) = 0.025. Поэтому      xпр ,α / 2 = 2.58 . Так как 2.108 < 2.58, то можно принять гипотезу
 x пр ,α 2 − 5                                                                H 0 : p1 = p0 , а полученные расхождения между теоретической
               = 1.96 . Значит, xпр ,α / 2 = 10.88 . Левая граница критиче-
        3                                                                     вероятностью p0 = 0.1 и наблюдаемой частностью 0.120 считать
ской области с точкой xпр ,α / 2 симметрична относительно точки               допустимыми на уровне значимости α = 0.005 .
x = 5 , т.е. левая граница xпр ,α / 2 = 5 − 5.88 = 0.88 . Тогда вероят-           Если бы количество человек с признаками заболевания R со-
ность ошибки β 2 составит                                                     ставило 130 (из 1000 обследованных), то K наб = 130 − 100 = 3.162 .
                                                                                                                                 9.487

                                         (          ) (              )
                                                                              В этом случае случайная величина K приняла значение из критиче-
  β 2 = P( −0.88 < N (15,3) < 10.88) = Φ 10.88 − 15 − Φ −0.88 − 15 =          ской области, т.е. произошло событие K > xпр ,α / 2 , которое прак-
                                              3                3
  = Φ (5.29) − Φ (1.37) = 0.5 − 0.41147 = 0.0853.                             тически невозможно, если гипотеза Н0 справедлива. Поэтому сле-
                                                                              дует отвергнуть гипотезу Н0 в пользу альтернативной гипотезы
Поэтому      мощность      критерия   во втором случае равна                  H1 : p1 > p0 .
m2 = 1 − β 2 = 1 − 0.0853 = 0.9147 . Значит, односторонняя крити-
ческая область больших значений является предпочтительной.                        5.2. Проверка гипотезы о числовом значении
    Э т а п 5 . В формулу критерия K, который является функци-                         математического ожидания
ей п случайных величин X 1 , X 2 ,..., X n , подставляются выбороч-                    нормального распределения
                                                                                     Полагаем, что Х является случайной величиной, имеющей
ные значения x1 , x2 ,..., xn и подсчитывается числовое значение
                                                                              нормальное распределение с параметрами a и σ , т.е.
критерия K наб .                                                               X = N ( a, σ ) , причем числовое значение а неизвестно.
    Если K наб попадает в критическую область ω , то гипотеза Н0                     Дать точный ответ на вопрос, каково численное значение не-
отвергается и принимается гипотеза Н1. При этом можно допустить               известного параметра а , по выборочной совокупности, нельзя. По-
                                                                              этому поступают следующим образом. Полагая, что наблюдения
ошибку первого рода с вероятностью α . Если K наб не попадает в
                                                                               X 1 , X 2 ,..., X n независимы, вычисляют значение выборочной
критическую область, гипотеза Н0 не отвергается. Однако это не
означает, что Н0 является единственной подходящей гипотезой:                  оценки X в , которое дает приближенные представления об a . За-
просто Н0 не противоречит результатам наблюдений; возможно,                   тем приступают к проверке гипотез о числовых значениях неиз-
таким же свойством наряду с Н0 могут обладать и другие гипотезы.              вестного параметра а.
    Вновь обратимся к нашему примеру. Напомним, что из обсле-
дованных 1000 человек признаки заболевания R были обнаруже-                       Проверка гипотезы о числовом значении математического
ны у 120 человек, т.е. S1000 = 120 . Подставляя это выборочное                ожидания при известной дисперсии. Предполагается, что
                                                                               X = N (a, σ ) , причем значение математического ожидания а не-
значение в формулу (5.4), получаем
                       K наб = 120 − 100 = 2.108 .                            известно, а числовое значение дисперсии σ 2 известно.
                                 9.487                                            Выдвинем гипотезу Н0 о том, что неизвестный параметр а ра-
                                                                              вен числу a0. Возможны три случая: 1) параметр а равен числу a1,
                                    99                                                                        100