Математическая статистика с примерами в Excel. Воскобойников Ю.Е - 51 стр.

    Э т а п 3. В качестве критерия, как и в случае 1, возьмем ве-                                      Решение.
личину (5.11), которая при справедливости гипотезы (5.13) удовле-                                      а) по условию задачи нулевая гипотеза H0 : а = 50 с. Так как
творяет распределению N(0,1).                                                                     xв = 52 c , то в качестве альтернативной возьмем гипотезу
    Э т а п 4. Если нулевая и альтернативная гипотезы имеют со-                                   H1 : a > 50 c , т.е. имеем случай 1 (см. (5.9), (5.10)) при a0 = 50 c . По
ответственно вид (5.13), (5.14), а критерий определяется выраже-
нием (5.12), то критическая область будет двусторонней: ее обра-                                  изложенной схеме получаем xпр ,α = 1.65 . Подставляя в (5.11) исход-
зуют интервалы (−∞, xлев ,α / 2 ) , ( xпр ,α / 2 , +∞) , где критические точки                    ные данные xв = 52 c, σ = 3, n = 9 , получаем K наб = 52 − 50 = 2 . Так
                                                                                                                                                         3 9
xпр,α / 2 , x лев ,α / 2 находятся из условия (5.8), которое, учитывая
                                                                                                  как число 2 попадает в критическую область (1.65, ∞) , то гипотеза
(5.12), запишется так:
                                                                                                  H0 : а = 50 с отвергается и принимается H1 : а > 50 с;
                                              α                                    α                   б) здесь нулевая гипотеза H 0 : a = 51 с, альтернативная
              P ( N (0,1) < xлев ,α / 2 ) =       ; P ( N (0,1) > xпр ,α / 2 ) =       . (5.15)
                                              2                                    2              H1 : а > 51 с. Снова имеет место случай 1 при а0 = 51 с. Так как
     Из рис. 5.1,в видно, что                                                                     K наб = 51 − 50 = 1 не попадает в критическую область, то гипотеза
                                                                                                           3 9
                                                       (1 − α )
                                  Φ ( xпр ,α / 2 ) =            .                        (5.16)   H0 : а = 51 с не отвергается и в качестве норматива времени
                                                          2                                       изготовления детали берем 51 с. ☻
Воспользовавшись табл. П1, находим решение этого уравнения                                             Проверка гипотезы о числовом значении математического
xпр,α / 2 . В силу симметричности функции плотности распределе-                                   ожидания при неизвестной дисперсии. В этом случае за основу
                                                                                                  проверки гипотезы
ния N (0,1) имеем
                                                                                                                                H 0 : a = a0 ,                       (5.17)
                                 x лев ,α / 2 = − xпр,α / 2 .
                                                                                                  где а0 – заранее заданное число, положен критерий
    Э т а п 5. Находим числовое значение K наб критерия (5.11).                                                                      X в − a0
                                                                                                                                K=               ,                   (5.18)
Если K наб попадает в интервал ( −∞, x лев ,α / 2 ) или ( xпр ,α / 2 ,+∞ ) ,                                                          S     n
то гипотеза H 0 (5.13) отвергается и принимается альтернативная
                                                                                                  где X в , S – случайные величины, вычисляемые по формулам
(5.14). Поступая таким образом, можно с вероятностью α допус-
тить ошибку первого рода.                                                                         (2.9) и (3.12). Этот критерий при выполнении гипотезы (5.17) име-
     ♦ Пример 5.1. По результатам п = 9 замеров установлено, что                                  ет t-распределение с числом степеней свободы k = n − 1 , т.е.
среднее время изготовления детали xв = 52 c . Предполагая, что                                                                       X в − a0
время изготовления подчиняется нормальному распределению с                                                                      K=               = T n −1 ,          (5.19)
                                                                                                                                      S     n
дисперсией σ 2 = 9 c 2 , решить на уровне значимости α = 0.05 :
     а) можно ли принять 50 с в качестве нормативного времени                                     где T n −1 – случайная величина, подчиняющаяся распределению
(математического ожидания) изготовления детали;                                                   Стьюдента (см. (4.5)).
     б) можно ли принять за норматив 51 с?

                                              103                                                                                    104