Математическая статистика с примерами в Excel. Воскобойников Ю.Е - 52 стр.

    Задаваясь уровнем значимости α , построим критическую об-                     виде P (Tn −1 < x лев ,α / 2 ) = α / 2 ; P (Tn −1 > xпр ,α / 2 ) = α / 2 .
ласть для проверки гипотезы (5.17) при следующих альтернатив-
ных гипотезах.                                                                    Обращаясь к табл. П2, находим
    Случай 1                                                                                         x лев ,α / 2 = −t (1 − α , n ) ; xпр ,α / 2 = t (1 − α , n ) .   (5.23)
    Альтернативная гипотеза
                                                                                  Подставляя в (5.18) конкретные значения величин X в , S , полу-
                                       H1 : a > a0 .                     (5.20)
                                                                                  чаем значение критерия Kнаб . Если K наб попадает в интервал
Критическая область является правосторонней: ее образует интер-                   ( −∞, x лев ,α / 2 ) или ( xпр ,α / 2 ,+∞) , то гипотеза H 0 (5.17) отверга-
вал ( x пр ,α ,+∞ ) , где точка xпр ,α определяется из условия (5.6),
                                                                                  ется и принимается альтернативная гипотеза H 1 (5.22). Если
которое с учетом (5.12) можно записать в виде
                                                                                  K наб ∈ [ x лев ,α / 2 , xпр,α / 2 ], то принимается основная гипотеза
                                    P (Tn −1 > xпр ,α ) = α .
                                                                                  H 0 (5.17).
В табл. П2 приведены значения t (γ , n ) , определяемые соотноше-                      ♦ Пример 5.2. Хронометраж затрат времени на сборку узла
                                                                                  машины п = 21 слесарей показал, что xв = 77 мин, а s 2 = 4 мин2.
        t ( γ ,n )

нием       ∫
       − t ( γ ,n )
                      PT ( x )dx = γ , где n – объем выборки, а не число степе-
                                                                                  В предположении о нормальности распределения решить вопрос:
ней свободы. Так как функция плотности t-распределения симмет-                    можно ли на уровне значимости α = 0.05 считать 80 мин норма-
рична относительно нуля, то искомая точка xпр ,α определяется                     тивом (математическим ожиданием) трудоемкости?
                                                                                      Решение. В качестве основной гипотезы принимается
как
                                                                                  H 0 : a = 80 мин, в качестве альтернативной H1 : a ≠ 80 мин, т.е.
                                       xпр ,α = t (1 − 2α , n ) .        (5.21)   имеем случай 2, при этом a0 = 80 . Используя (5.23) и табл. П2
                                                                                  ( n = 21) , находим
Подставив в (5.18) конкретные значения X в , S , получаем значе-
ние критерия Kнаб . Если K наб > xпр ,α (т.е. попадает в критиче-                                            x лев ,α / 2 = −2.086 ; xпр ,α / 2 = 2.086 .              (5.24)
скую область), то гипотеза (5.17) отвергается и принимается гипо-
теза (5.20). При этом возможна ошибка первого рода с вероятно-                    По формуле (5.18) вычисляем K наб = (77 − 80) (2 2) = −6.708 . Так
стью α .                                                                          как число –6.708 попадает в критическую область (конкретно в ин-
      Случай 2                                                                    тервал (−∞, −2.086) ), то гипотеза H 0 : a = 80 мин отвергается. ☻
      Альтернативная гипотеза
                                                                                       5.3. Проверка гипотезы о числовом значении дисперсии
                                      H1 : a ≠ a0 .                     (5.22)              нормального распределения
Критическая область состоит из двух интервалов ( −∞, x лев ,α / 2 ) ,
                                                                                      Полагаем, что X является случайной величиной, имеющей нор-
( xпр ,α / 2 ,+∞) , где критические точки x лев ,α / 2 , xпр,α / 2 опреде-        мальное распределение N(a,σ), причем числовое значение дисперсии
ляются из условий (5.8), которые с учетом (5.19) можно записать в
                                             105                                                                                106