Математическая статистика с примерами в Excel. Воскобойников Ю.Е - 54 стр.

    Решение. За альтернативную примем гипотезу H1 : σ 2 > 0.15 ,                                     ω − p0
                                                                                                                                             (5.31)
т.е. имеем случай 1. По табл. П3 находим xпр ,0.05 = χ (0.95, 24) =36.4,
                                                       2
                                                                                                   p0 (1 − p0 ) / n
следовательно, критическая область (36.4, ∞) . По формуле (5.26)           можно аппроксимировать нормальным распределением N(0,1), т.е.
находим                                                                                         ω − p0
                                                                                                             = N (0,1) .          (5.32)
                     K наб = ( 25 − 1)0.25 / 0.15 = 40 .                                      p0 (1 − p0 ) n
                                                                               Напомним, что при проверке гипотез о численном значении
    Так как K наб попадает в критическую область, гипотезу H 0
                                                                           математического ожидания (при известной дисперсии) уже ис-
отвергаем. ☻                                                               пользовался критерий, имеющий нормальное распределение. По-
    5.4. Проверка гипотезы о числовом значении                             этому, не останавливаясь на вычислении критических точек, опре-
         вероятности события                                               делим только следующие три вида альтернативной гипотезы H1.
                                                                               Альтернативная гипотеза H1 имеет вид
    Предположим, что А – случайное событие, вероятность p по-
явления которого в единичном испытании неизвестна. Выдвинем                                              H 1 : p > p0 .                      (5.33)
гипотезу
                                                                           В этом случае критическая область представляет собой отрезок
                              H 0 : p = p0                       (5.30)    ( xпр,α ,+∞) (см. рис.5.1,а). Подставляя в формулу (5.31) значение

о том, что вероятность p равна числу p0 . В основе проверки этой           частности ω и заданные числа p0 и n , вычисляем значения кри-

гипотезы должно лежать сравнение числа p0 с приближенными                  терия K наб . Если K наб > xпр ,α , то гипотеза H 0 (5.30) отвергает-
значениями вероятности p , найденными по опытным данным.                   ся и принимается гипотеза H1 (5.33).
Хорошим приближением к p является относительная частота                        Альтернативная гипотеза H1 имеет вид
ω = m n , где n – число независимых испытаний, проводимых в                                             H 1 : p < p0 .                       (5.34)
одинаковых условиях, m – число испытаний (из n проведенных),
                                                                           В этом случае критическая область имеет вид                 (−∞, xлев ,α )
в которых произошло событие А. Поскольку А – случайное собы-
тие, то число m – случайная величина. Поэтому рассмотрим два               (см. рис. 5.1,б). Если числовое значение K наб попадает в интервал
случая.                                                                    ( −∞, x лев ,α ) , то принимается гипотеза H1 (5.34).
     Случай большого числа наблюдений. Напомним, что при
                                                                               Альтернативная гипотеза H1 имеет вид
                                               ω−p
большом n распределение величины                            можно ап-
                                     p (1 − p ) / n                                                     H 1 : p ≠ p0 .                       (5.35)
проксимировать нормальным распределением N (0,1) . Если гипо-              В этом случае критическая область состоит из двух отрезков
теза (5.30) справедлива, то распределение критерия                         (−∞, xлев ,α ) , ( xпр ,α + ∞) (см. рис. 5.1,в). Если числовое значение
                                                                                     2        2
                                                                           критерия Kнаб попадает в критическую область, принимается гипо-
                                                                           теза H1 (5.35), в противном случае – гипотеза H0 (5.30).
                                  109                                                                         110