Составители:
Рубрика:
113
5.5. Проверка гипотезы о равенстве
математических ожиданий
двух нормальных распределений
Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий
двух генеральных совокупностей имеет важное практическое зна-
чение. Действительно, иногда оказывается, что средний результат
в
x одной серии наблюдений отличается от среднего результата
в
y
другой серии. Возникает вопрос: можно ли это различие объяснить
случайной ошибкой экспериментов или оно неслучайно? Иначе
говоря, можно ли считать, что результаты экспериментов пред-
ставляют собой выборки из двух генеральных совокупностей с
одинаковыми средними. Приведем точную формулировку задачи.
Пусть генеральные совокупности Х и Y распределены по нор-
мальному закону, причем
их средние квадратические отклонения
известны и равны соответственно
X
σ
и
Y
σ
. Требуется по двум
независимым выборкам x
1
,…,x
n
и y
1
,…,y
m
из генеральных совокуп-
ностей Х и Y проверить гипотезу о равенстве генеральных средних,
т.е. основная гипотеза имеет вид:
)()(:
0
YMXMH = . (5.36)
Построим критерий проверки этой гипотезы, основываясь на
следующем соображении: так как приближенное представление о
математическом ожидании дает выборочная средняя, то в основе
проверки гипотезы (5.36) должно лежать сравнение выборочных
средних
вв
YX , . Найдем закон распределения разности )(
вв
YX − .
Эта разность является случайной величиной, и если гипотеза
0
H (5.36) верна, то
11
... ...
() ()()0
nm
вв
XXYY
MX Y M MX MY
nm
++ ++
⎛⎞
−= − = − =
⎜⎟
⎝⎠
.
114
Пользуясь свойствами дисперсии, получим
11
22
22
... ...
()
() () () ()
.
nm
вв
X
Y
XXYY
DX Y D
nm
nD X mD Y D X D Y
nmnmnm
σ
σ
++ ++
⎛⎞
−
=−=
⎜⎟
⎝⎠
=+=+=+
(5.37)
Так как случайная величина
вв
YX − является линейной комбина-
цией независимых нормально распределенных случайных величин
n
XX ,...,
1
,
m
YY ,...,
1
, то
вв
YX − распределена по нормальному
закону с параметрами
0
=
a ,
22
2
X
Y
nm
σ
σ
σ
=+. В качестве критерия
выберем пронормированную случайную величину
вв
YX −
, т.е.
22
вв
X
Y
X
Y
K
nm
σ
σ
−
=
+
. (5.38)
Таким образом, если гипотеза (5.36) верна, случайная величи-
на
K
имеет нормальное распределение
)1,0(N
, т.е.
22
(0,1)
вв
XY
XY
KN
nm
σσ
−
==
+
. (5.39)
Теперь зададимся уровнем значимости
α
и перейдем к по-
строению критических областей и проверке гипотезы (5.36) для
двух видов альтернативной гипотезы Н
1
. Заметим, что вычисление
критических точек критерия, распределенного по нормальному за-
кону
)1,0(N , подробно рассматривалось в п. 5.2. Поэтому здесь
ограничимся только определением соответствующих критических
областей.
1.
Альтернативная гипотеза имеет вид
1
:() ()
H
MX MY> . (5.40)
В этом случае критическая область есть интервал (x
пр,
α
, +∞), где
5.5. Проверка гипотезы о равенстве Пользуясь свойствами дисперсии, получим
математических ожиданий
двух нормальных распределений ⎛ X + ... + X n Y1 + ... + Ym ⎞
D ( X в − Yв ) = D ⎜ 1 − ⎟=
⎝ n m ⎠
Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий (5.37)
nD ( X ) mD (Y ) D ( X ) D (Y ) σ X σ Y2 2
двух генеральных совокупностей имеет важное практическое зна- = + = + = + .
чение. Действительно, иногда оказывается, что средний результат n2 m2 n m n m
xв одной серии наблюдений отличается от среднего результата y в Так как случайная величина X в − Yв является линейной комбина-
другой серии. Возникает вопрос: можно ли это различие объяснить цией независимых нормально распределенных случайных величин
случайной ошибкой экспериментов или оно неслучайно? Иначе
X 1 ,..., X n , Y1 ,..., Ym , то X в − Yв распределена по нормальному
говоря, можно ли считать, что результаты экспериментов пред-
ставляют собой выборки из двух генеральных совокупностей с σ X2 σ Y2
закону с параметрами a = 0 , σ 2 = +
. В качестве критерия
одинаковыми средними. Приведем точную формулировку задачи. n m
Пусть генеральные совокупности Х и Y распределены по нор- выберем пронормированную случайную величину X в − Yв , т.е.
мальному закону, причем их средние квадратические отклонения
известны и равны соответственно σ X и σ Y . Требуется по двум X в − Yв
K= . (5.38)
независимым выборкам x1,…,xn и y1,…,ym из генеральных совокуп- σ X2 σ Y2
+
ностей Х и Y проверить гипотезу о равенстве генеральных средних, n m
т.е. основная гипотеза имеет вид:
Таким образом, если гипотеза (5.36) верна, случайная величи-
H 0 : M ( X ) = M (Y ) . (5.36) на K имеет нормальное распределение N (0,1) , т.е.
Построим критерий проверки этой гипотезы, основываясь на X в − Yв
K= = N (0,1) . (5.39)
следующем соображении: так как приближенное представление о σ X2 σ Y2
математическом ожидании дает выборочная средняя, то в основе +
n m
проверки гипотезы (5.36) должно лежать сравнение выборочных
средних X в , Yв . Найдем закон распределения разности ( X в − Yв ) . Теперь зададимся уровнем значимости α и перейдем к по-
Эта разность является случайной величиной, и если гипотеза строению критических областей и проверке гипотезы (5.36) для
двух видов альтернативной гипотезы Н1. Заметим, что вычисление
H 0 (5.36) верна, то критических точек критерия, распределенного по нормальному за-
кону N (0,1) , подробно рассматривалось в п. 5.2. Поэтому здесь
⎛ X + ... + X n Y1 + ... + Ym ⎞
M ( X в − Yв ) = M ⎜ 1 − ⎟ = M ( X ) − M (Y ) = 0 . ограничимся только определением соответствующих критических
⎝ n m ⎠
областей.
1. Альтернативная гипотеза имеет вид
H1 : M ( X ) > M (Y ) . (5.40)
В этом случае критическая область есть интервал (xпр,α, +∞), где
113 114
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 54
- 55
- 56
- 57
- 58
- …
- следующая ›
- последняя »
