Математическая статистика с примерами в Excel. Воскобойников Ю.Е - 57 стр.

критическая точка xпр,α определяется из условия P ( N (0,1) > xпр ,α ) =                   численное по формуле (5.38), попадает в интервал ( −∞, x лев ,α / 2 )
= α (см. п. 5.2). Критическая область приведена на рис. 5.1,а. Под-                        или в интервал ( xпр ,α / 2 ,+∞ ) , то принимаем гипотезу Н1 (5.41);
ставляя в (5.38) числовые значения, найдем значения случайных
                                                                                           если x лев ,α / 2 < K наб < xпр ,α / 2 , то принимаем гипотезу Н0 (5.36).
величин X в , Yв и значение критерия K наб . Если K наб > xпр ,α , то
гипотезу Н0 (5.36) отвергаем и принимаем гипотезу Н1 (5.40). По-                               5.6. Проверка гипотезы о равенстве
ступая таким образом, можно допустить ошибку первого рода с                                         математических ожиданий двух произвольных
вероятностью α.                                                                                     распределений по выборкам большого объема
    ♦ Пример 5.6. По двум независимым выборкам, извлеченным
из нормальных генеральных совокупностей, объемы которых рав-                                   Пусть x1 ,..., xn – выборка из генеральной совокупности X, а
ны n = 12 и m = 8 , найдены средние значения xв = 143 ,                                    y1 ,..., y n – выборка из генеральной совокупности Y , причем
y в = 122 . Генеральные дисперсии известны: σ Х2 = D( X ) = 36,σ Y2 =                      объемы выборок п и т достаточно большие (не менее 30 элементов
                                                                                           в каждой). Распределение генеральных совокупностей нам неиз-
= D(Y ) = 8 . При уровне значимости α = 0.005 проверить гипотезу
                                                                                           вестно, но недостаток этой информации компенсируется большими
H 0 : M ( X ) = M (Y ) при конкурирующей гипотезе M ( X ) > M (Y ) .                       объемами выборок. Согласно центральной предельной теореме,
      Решение. Критическую точку xпр,α находим по табл. П1 из ус-                          случайная величина X в − Yв распределена по закону, близкому к
ловия Φ ( xпр ,α ) = 1 − α = 0.495 . Получаем xпр,α = 2.58. Наблюдаемое                    нормальному.     Если    гипотеза       H 0 : M ( X ) = M (Y ) верна,   то
                     2
значение критерия                                                                                                                                  σ X2 σ Y2
                                 143 − 122 21
                                                                                           M ( X в − Yв ) = 0 . Как и в п. 5.5, D( X в − Yв ) =+    , однако
                                                                                                                                            n    m
                         K наб =          = = 10.5 .
                                   36 + 8  2                                               σ Х2 ,σ Y2 неизвестны. Но при выборках большого объема случайные
                                   12 8                                                    величины Dвx (выборочная дисперсия Х) и Dвy (выборочная дис-
      Так как K наб > 2.58 , то гипотеза о равенстве генеральных
                                                                                           персия Y) являются достаточно хорошими оценками для D(x) и
средних отвергается на уровне значимости α = 0.005 . ☻                                     D(y). Поэтому случайная величина
    2. Альтернативная гипотеза имеет вид                                                                             X в − Yв
                                                                                                              K=                                (5.42)
                                      H1 : M ( x ) ≠ M ( y ) .                    (5.41)                            Dвx Dвy
                                                                                                                         +
                                                                                                                     n      m
В этом случае наибольшая мощность критерия достигается при
двусторонней критической области, состоящей из двух интервалов                             распределена по закону, близкому к нормальному N(0,1), и может
( −∞, x лев ,α / 2 ) и ( xпр,α / 2 ,+∞ ) . Критические точки определяются                  быть принята в качестве критерия. Тогда построение критических
                                                                                           областей для двух видов конкурирующих гипотез осуществляется
из условия (см. п. 5.2)                                                                    так же, как и в п. 5.5.
     P ( N (0,1) < xлев ,α / 2 ) = α / 2 ; P ( N (0,1) > xпр ,α / 2 ) = α / 2 .                  ♦ Пример 5.7. По двум независимым выборкам объемов
В силу симметрии плотности распределения N(0,1) относительно                               n = 120 , m = 150 найдены значения выборочных дисперсий
нуля xлев ,α / 2 = − xпр ,α / 2 . Если числовое значение критерия K наб , вы-              d вx = 1.2 и d вy = 4.5 , а также средние значения xв = 30 , y в = 28.3 .

                                            115                                                                              116