Математическая статистика с примерами в Excel. Воскобойников Ю.Е - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

119
(5.43). Если эта гипотеза справедлива, то критерий (5.46) имеет
t-распределение с
2−
+
=
mnk
степенями свободы, т.е.
2−+
=
mn
TK . (5.47)
Зададимся уровнем значимости
α
и перейдем к построению
критических областей для трех видов альтернативной гипотезы.
Заметим, что ранее рассматривался критерий (5.18), имеющий рас-
пределение Стьюдента с
1−= nk
степенями свободы. Сейчас
рассмотрим критерий (5.46), имеющий
t-распределение с
2−+= mnk степенями свободы. Никаких принципиальных раз-
личий в алгоритмы построения критических областей это не вно-
сит. Поэтому лишь кратко приведем схемы нахождения критиче-
ских точек.
1. Альтернативная гипотеза имеет вид
)()(:
1
YMXMH >
. (5.48)
Критическая область представляет собой интервал (
x
пр,
α
,+∞), где
точка
x
пр,
α
находится из условия
,
2
()
пр
nm
PT x
α
α
+−
>=.
В табл. П2 приведены величины (, )
tN
γ
, определяемые условием
(
)
1
(, )
N
PT t N
γ
γ
−
<=, где
N
– объем выборки, 1N
−
– число сте-
пеней свободы. Поэтому
,
(1 2 , 1)
пр
xt nm
α
α
=− +−. (5.49)
Подставив в (5.46) числовые значения, получаем значения крите-
рия
наб
K . Если
α
,прнаб
xK > , то принимается гипотеза Н
1
(5.48),
в противном случае – гипотеза
Н
0
(5.43).
2. Альтернативная гипотеза имеет вид
)()(:
1
YMXMH < . (5.50)
Критическая область – это интервал
),(
,
α
лев
x−∞ , где точка
α
,лев
x
определяется из условия
α
α
<
−+
)(
,2 левmn
xTP и равна
120
,
(1 2 , 1)
лев
xtnm
α
α
=
−− +−
,
где (1 2 , 1)
tnm
α
−
+− находится по табл. П2. Если числовое значе-
ние
α
,левнаб
xK
, то принимается гипотеза Н
1
(5.50), в против-
ном случае – гипотеза
Н
0
(5.43).
3. Альтернативная гипотеза имеет вид
)()(:
1
YMXMH
. (5.51)
В этом случае критическая область состоит из двух интерва-
лов
),(
2/,
α
лев
x
−
∞ , ),(
2/,
+
∞
α
пр
x , где критические точки опреде-
ляются из условий
2 , /2 2 , /2
()/2;()/2.
nm лев nm пр
PT x PT x
αα
α
α
+− +−
<
=>=
Используя табл. П2, получаем
,/2 ,/2
(1 , 1); (1 , 1).
лев пр
x t nm x t nm
αα
α
α
=
−− +− = − +−
Если числовое значение
наб
K попадает в интервал ),(
2/,
α
лев
x
−
∞
или в интервал
),(
2/,
+
∞
α
пр
x , то принимается гипотеза Н
1
(5.51).
Если
наб
K попадает в интервал
(
)
2/,2/,
,
αα
прлев
xx , то принимает-
ся гипотеза
0
H (5.43).
♦ Пример 5.8. По двум малым выборкам из нормальных гене-
ральных совокупностей
Х и Y найдены средние значения
в
x = 30,
в
y = 39 и значения исправленных дисперсий
2
0.8
Х
s =
,
2
0.4
Y
s =
.
Требуется на уровне значимости
05.0
=
α
проверить гипотезу
0
:() ()
H
MX MY
=
при конкурирующей гипотезе
1
:() ()
H
MX MY
≠
. Объемы выборок равны соответственно п = 12,
т = 18.
Решение. Так как выборки имеют малый объем, то для приме-
нения критерия Стьюдента мы должны вначале проверить гипоте-
зу о равенстве генеральных дисперсий
)()( YDXD
(см. п. 5.8).
Для проверки используем критерий Фишера. В качестве конкури-
рующей выберем гипотезу
)()( YDXD > . Найдем наблюдаемое 
(5.43). Если эта гипотеза справедлива, то критерий (5.46) имеет                                       x лев ,α = −t (1 − 2α , n + m − 1) ,
t-распределение с k = n + m − 2 степенями свободы, т.е.
                                                                           где t (1 − 2α , n + m − 1) находится по табл. П2. Если числовое значе-
                                   K = Tn + m − 2 .              (5.47)
                                                                           ние K наб < x лев ,α , то принимается гипотеза Н1 (5.50), в против-
     Зададимся уровнем значимости α и перейдем к построению                ном случае – гипотеза Н0 (5.43).
критических областей для трех видов альтернативной гипотезы.                   3. Альтернативная гипотеза имеет вид
Заметим, что ранее рассматривался критерий (5.18), имеющий рас-
пределение Стьюдента с k = n − 1 степенями свободы. Сейчас
                                                                                                           H1 : M ( X ) ≠ M (Y ) .                                  (5.51)
рассмотрим критерий (5.46), имеющий t-распределение с                          В этом случае критическая область состоит из двух интерва-
k = n + m − 2 степенями свободы. Никаких принципиальных раз-               лов ( −∞, x лев ,α / 2 ) , ( xпр ,α / 2 ,+∞ ) , где критические точки опреде-
личий в алгоритмы построения критических областей это не вно-
                                                                           ляются из условий
сит. Поэтому лишь кратко приведем схемы нахождения критиче-
ских точек.                                                                          P (Tn + m − 2 < xлев ,α / 2 ) = α / 2; P (Tn + m − 2 > xпр ,α / 2 ) = α / 2.
     1. Альтернативная гипотеза имеет вид
                                                                           Используя табл. П2, получаем
                         H 1 : M ( X ) > M (Y ) .                (5.48)
                                                                                    xлев ,α / 2 = −t (1 − α , n + m − 1); xпр ,α / 2 = t (1 − α , n + m − 1).
Критическая область представляет собой интервал (xпр,α,+∞), где
точка xпр,α находится из условия                                           Если числовое значение K наб попадает в интервал ( −∞, x лев ,α / 2 )
                         P (Tn + m −2 > xпр ,α ) = α .                     или в интервал ( xпр ,α / 2 ,+∞ ) , то принимается гипотеза Н1 (5.51).
В табл. П2 приведены величины t (γ , N ) , определяемые условием                                                          (
                                                                           Если K наб попадает в интервал x лев ,α / 2 , x пр ,α / 2 , то принимает- )
P ( TN −1 < t (γ , N ) ) = γ , где N – объем выборки, N − 1 – число сте-   ся гипотеза H 0 (5.43).
пеней свободы. Поэтому                                                          ♦ Пример 5.8. По двум малым выборкам из нормальных гене-
                         xпр ,α = t (1 − 2α , n + m − 1) .       (5.49)    ральных совокупностей Х и Y найдены средние значения xв = 30,

Подставив в (5.46) числовые значения, получаем значения крите-             y в = 39 и значения исправленных дисперсий s Х2 = 0.8 , sY2 = 0.4 .
рия K наб . Если K наб > x пр ,α , то принимается гипотеза Н1 (5.48),      Требуется на уровне значимости α = 0.05 проверить гипотезу
в противном случае – гипотеза Н0 (5.43).                                    H 0 : M ( X ) = M (Y )      при      конкурирующей        гипотезе
    2. Альтернативная гипотеза имеет вид                                    H1 : M ( X ) ≠ M (Y ) . Объемы выборок равны соответственно п = 12,
                                                                           т = 18.
                         H 1 : M ( X ) < M (Y ) .                (5.50)           Решение. Так как выборки имеют малый объем, то для приме-
                                                                           нения критерия Стьюдента мы должны вначале проверить гипоте-
Критическая область – это интервал (−∞, x лев ,α ) , где точка x лев ,α
                                                                           зу о равенстве генеральных дисперсий D( X ) = D(Y ) (см. п. 5.8).
определяется из условия P (Tn + m −2 < x лев ,α ) = α и равна              Для проверки используем критерий Фишера. В качестве конкури-
                                                                           рующей выберем гипотезу D ( X ) > D(Y ) . Найдем наблюдаемое
                                     119                                                                                120

Страницы